Likning

[Ev@]

Noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven?

Løs likningen z⁴ + 8 = i 8√3.

[drgz]

Hint: [tex]z^4 = 8(i\sqrt{3}-1) = 8*e^{j\frac{2\pi}{3}}[/tex]

[Ev@]

z0=8^(1/4) * e^i(2pi/3)^(1/4)

8^(1/4) * (cos(2pi/3)^(1/4)+i*sin(2pi/3)^(1/4))

Hva gjør jeg feil?

[Gustav]

Hint: [tex]z^4 = 8(i\sqrt{3}-1) = 8*e^{j\frac{2\pi}{3}}[/tex]

Skal vel være [tex]z^4 = 8(i\sqrt{3}-1) = 16*e^{j\frac{2\pi}{3}}[/tex]

[Gustav]

z0=8^(1/4) * e^i(2pi/3)^(1/4)

8^(1/4) * (cos(2pi/3)^(1/4)+i*sin(2pi/3)^(1/4))

Hva gjør jeg feil?

For å finne alle røttene, skriv

[tex]e^{\frac{2\pi i}{3}}=e^{\frac{2\pi i}{3}+2\pi n i}[/tex] for heltall n.

[Ev@]

Må jeg opphøye 16 i (1/4) og (2pi/3) i (1/4) ettersom z er opphøyd i 4?

[Gustav]

[tex]z^4 = 8(i\sqrt{3}-1) = 16e^{i\frac{2\pi}{3}}[/tex]

La [tex]w=z^4[/tex]. Oppgaven er derfor å finne fjerderøttene til det komplekse tallet [tex]w[/tex], og de er det altså 4 av.

Trikset er å observere at [tex]e^{2\pi ni}=1[/tex] for alle heltall n, så vi får at [tex]w=z^4=16e^{i\frac{2\pi}{3}}=16e^{i\frac{2\pi}{3}}\cdot e^{2\pi ni}[/tex]

Opphøy hver side i [tex]\frac{1}{4}[/tex]: Vi får at de fire røttene er

[tex]w^{\frac14}=z=\sqrt[4]{16}e^{\frac{2\pi i}{12}}\cdot e^{\frac{2\pi ni}{4}}[/tex] der [tex]n=\{0,1,2,3\}[/tex]

[drgz]

Hint: [tex]z^4 = 8(i\sqrt{3}-1) = 8*e^{j\frac{2\pi}{3}}[/tex]

Skal vel være [tex]z^4 = 8(i\sqrt{3}-1) = 16*e^{j\frac{2\pi}{3}}[/tex]

huff,, ja, glemte helt å gange med to gitt.

my bad