Oppgave: Bruk et linjeintegral til å finne arealet av området innelukket av kurven:
r = a*(cos^3(t))i + b*(sin^3(t))j
Hvor t er definert i intervallet [0, 2 [symbol:pi] ]
OK. Vi vet at arealet av et område, gjennom Greens teorem, er gitt ved:
(1/2) [symbol:integral] xdy - ydx
(hvor integraltegnet skal ha en sirkel over seg da dette er et lukket område).
Med den gitte kurven setter jeg:
x = a*(cos^3(t))
dx = -3a(sin^2(t))
y = b*(sin^3(t))
dy = 3b(cos^2(t))
Får så:
xdy - ydx = 3ab(cos^5(t)) + 3ab(sin^5(t))
Altså har vi at arealet blir:
(3ab/2)* [symbol:integral] (cos^5(t)) + (sin^5(t)) dt
Hvis jeg regner ut dette i intervallet [0, 2 [symbol:pi] ] får jeg imidlertid svaret 0. Dette stemmer imidlertid ikke, da arealet skal være (3 [symbol:pi] ab/8).
Har også prøvd å regne dette ut gjennom å ta integralet over i området [0, [symbol:pi] /2] og multipliserer med 4. Men da får jeg svaret:
(32ab/5)
Som jo heller ikke stemmer.
Setter derfor veldig stor pris på om noen kan hjelpe meg å finne ut hva jeg gjør feil her!
. Jeg hadde gjort en dum derivasjonsfeil helt i starten.