Konvergerer rekkene?

[Gommle]

Fra NTNU høsteksamen matte 1 1994. Har ikke fasit, så jeg spør dere.

Gitt at [tex]a_n > 0[/tex] for alle [tex]n[/tex] og at (0) [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] konvergerer, konvergerer rekkene

(1) [tex]\sum a_n^2[/tex]

(2) [tex]\sum \ln(1+a_n)[/tex]?

Mine svar:

(1) konvergerer siden [tex]\frac{a_n^2}{a_n}\to a_n \to 0[/tex] etter grensetesten.

(2) Konvergerer siden:
[tex]\sum \ln(1+a_n) = \ln\left(\prod (1+a_n)\right)[/tex]

og [tex]\prod (1+a_n) \to C[/tex] må konvergere ettersom leddene går mot 1, og ln(C) blir da en konstant, ergo rekken konvergerer.

Er dette riktig?

[Karl_Erik]

a) ser riktig ut, men hvorfor må [tex]\prod_{(1+a_n)}[/tex] konvergere? At [tex]1+a_n \rightarrow 1[/tex] holder ikke, for om [tex]b_n=\frac {n+1} n[/tex] går [tex]b_n \rightarrow 1[/tex], men [tex]\prod b_n \rightarrow \infty[/tex].

[Gommle]

Det har jeg egentlig ikke noe svar på, siden jeg ikke har lært om

Edit: Etter å ha lest meg opp litt virker det som at man vises at produktrekker konvergerer ved å gjøre dem om til summer og så vise at de konvergerer. Altså det motsatte av det jeg har gjort.

Hvordan kan jeg da vise at den divergerer/konvergerer?

[Gommle]

Der ja.

[tex]\sum \ln(1+a_n) < \sum a_n[/tex]

og siden a_n konvergerer, må da [tex]\sum \ln(1+a_n)[/tex] konvergere.

[Karl_Erik]

Dette ser bra ut det. I fare for å spikke fliser over noe du sikkert er klar over må du strengt tatt også nevne at [tex]\ln(1+a_n)>0[/tex], for det kunne jo hendt at logaritmen gikk mot minus uendelig og sånnsett 'divergerte nedover', men dette skjer jo ikke siden [tex]1 + a_n > 1 =e^0[/tex].