Er ny i dette forumet, og meldte meg inn siden jeg sliter litt med å finne gode matematiske argumentasjoner for hvorfor noen påstander er sanne mens andre er usanne. Har vel funnet ut i fra
noe matematisk kunnskap og sunt bondevett hvilke som er sanne og usanne, men ikke den gode forklaringen på alle.
Påstand 1 (usann): "En firkant kan ikke ha tre vinkler som er større enn 90.°" Denne mener jeg er usann, og at så lenge de fire vinklene er 360° kan 3 vinklene være mer enn 90°. Iallfall er det ikke
noe problem å tegne en slik firkant med gradskiven. Men finnes det noen bedre matematisk begrunnet forklaring?
Påstand 2 (sann): "I et kvadrat står diagonalene 90° på hverandre." Har kommet frem til følgende forklaring på denne, og mottar gjerne kommentarer på denne:
(Fordi alle sidene i et kvadrat er like lange, vil) diagonalene (i et kvadrat) halvere vinklene i kvadratet, samtidig som diagonalene danner 4 (vinkelrette) trekanter. I og med at vinklene i kvadratet
blir halvert, vil de to minste vinklene i hver av de 4 trekantene være 45°. Den siste vinkelen blir for alle 4 trekantene dannet av de to diagonalene som skjærer hverandre, og siden
vinkelsummen i en trekant er 180° vil dermed den siste vinkelen bli (180° - 45° - 45°) 90° grader.
Påstand 3 (sann): "En side i en trekant kan ikke være lengre enn summen av de to andre sidene."
Denne sliter jeg særlig med å finne noen god matematisk forklaring på. Men jeg tenker meg at om jeg tegner en trekant for vinkelen mellom de to korteste sidene er hele 178°, så vil disse to sidene tilsammen NESTEN, men bare NESTEN være paralelle med den lengste siden. De vil også være lengre tilsammen, siden vinkelen mellom dem er 178°, altså bare 2° mindre enn 180° som representerer en rett linje.
Men jeg er veldig usikker på hvorvidt dette holder som en "matematisk" forklaring på hvorfor påstanden er sann?
Påstand 4 (usann): "Summen av kvadratene av de to korteste sidene i en trekant er lik kvadratet av den lengste siden."
Årsaken til at denne er usann mener jeg er at det påstanden egentlig uttrykker, er pytagoras setning, men kommer kun til anvendelse når det er snakk om rettvinklede trekanter. I alle andre typer trekanter, vil ikke summen av kvadratene av de to korteste sidene i en trekant være lik kvadratet av den lengste siden.
I tillegg er det et par påstander til i denne oppgaven, samt at jeg skal lage et undervisningsopplegg rundt en av påstandene, men dette tror jeg at jeg har fått noenlunde snøring på.
Hjelp mottas med takk!
Hjelp til matematikk-påstander i didaktisk refleksjonsoppg.?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Påstand 1: En påstand er usann dersom du kan vise opp et eksempel som ikke er i samsvar med påstanden. Som du selv er inne på er det lett å finne slike firkanter.
2:Dette gjelder for alle firkanter (romber) med fire like sider og vises enkelt geometrisk.
3. Dette er en konsekvens av postulatet om at den rette linja er den korteste veien mellom to punkter.
4: Her som i 1 er det tilstrekkelig å finne en trekant der dette ikke stemmer.
(En trekant med to sider som er like lange som katetene i en rettvinklet trekant, men der den tredje siden er beviselig lengre (eller kortere).)
2:Dette gjelder for alle firkanter (romber) med fire like sider og vises enkelt geometrisk.
3. Dette er en konsekvens av postulatet om at den rette linja er den korteste veien mellom to punkter.
4: Her som i 1 er det tilstrekkelig å finne en trekant der dette ikke stemmer.
(En trekant med to sider som er like lange som katetene i en rettvinklet trekant, men der den tredje siden er beviselig lengre (eller kortere).)
Takker for raskt og konstruktivt svar, føler jeg fikk noen bekreftelser på mine refleksjoner og også noen aha-opplevelser.
Imidlertid virker det som om du og oppgaveveilederen har to ulike tankesett. Du nevner blant annet at ting kan vises med geometriske eksempler, mens veilederen vil at det skal argumenteres med ord. Det virker også som at du mener i flere tilfeller er relativt enkelt å vise om påstandene er sanne eller usanne, mens veilederen krever mye grundigere (overflødige?) argumentasjoner. Jeg har tatt med noen eksempler fra oppgavebesvarelsen (som ikke ble godkjent) og kommentaren for å vise dette:
"Påstand 1 (usann): "En firkant kan ikke ha tre vinkler som er større enn 90.°"
Ein firkant har fire sider og fire vinklar som har total vinkelsum på 360 grader.
Ein firkant kan bestå av tre vinklar som er større enn 90 grader, og ein vinkel som er mindre, så lenge den innvendige vinkelsummen ikkje overstig 360 grader (n – 2) x 180 grader. Eks. tre vinklar som er 110 grader og ein vinkel på 30 grader.
Påstand 2 (sann): "I et kvadrat står diagonalene 90° på hverandre."
Kvadratet har den eigenskapen at det er ein regulær firkant, der alle fire sidene er like lang og alle fire vinklane er rette, altså 90 grader. Dermed vil den totale innvendig vinkelsummen for kvadratet bli 90x4 = 360 grader.
Når ein delar kvadratet med diagonalar vil ein få same vinkelsummen på
diagonalane, for diagonalane vil få eit felles punkt i midten av kvadratet. Dermed vil
vinklane i diagonalane også verte 90 grader sidan vi har eit regulær firkant.
Påstand 3 (sann): "En side i en trekant kan ikke være lengre enn summen av de to andre sidene."
Pål (svaret på denne påstanden er ikke kommentert i det heile.)
Den lengste sida i ein trekant kan ikkje vere lengre enn summen av dei to
kortaste, fordi då vil ikkje sidene av dei kortaste møtast. Eks. linje på 10cm, og to
kortare på 6cm og 4cm. For å danne ein trekant, må ein ha ein total vinkelsum på
180 grader, set ein dei korte linjene på 6cm og 4cm i kvar sin ende av den lange linja
på 10cm, vil dei ikkje kunne møtast for å danne ein trekant.
Påstand 4 (sann --> feil) "Summen av kvadrata av dei to kortaste sidene i ein trekant er lik kvadratet av den lengste sida."
Sann: Ja, dette er pytagoras setning for rettvinkla trekantar. Den lengste sida heiter hypotenus, og er på motsatt side av den rette vinkelen av dei to andre sidene i
trekanten, som heiter katet. Katetane er kortare enn hypotenus i den rettvinkla trekanten. Pytagoras setning a + b = c gir oss arealet til kvadratet til hypotenusen i trekanten. Pytagoras setning kan sjølvsagt også snuast om for å finne arealet for katetane.
Følgende kommentar ble gitt av veileder:
"Slik påstand 4 står, er den då sann? (Her er jeg enig med veilder at jeg har gjort en feil, fordi jeg kun har tenkt på rettvinklede trekanter)
Har litt problem med grunngjevinga du kjem med for påstand 1 og 2. Det stemmerat påstand 2 er sann og 1 usann, men kvifor er det slik? Her blir du littuklar.
Du kan godt ta utgangspunkt i påstand 4 i undervisningsopplegget, men det blir litt rart
for meg når du berre ser på ein rettvinkla trekant. Dette bør du sjå meir på."
Kom gjerne med innspill på det jeg har svart og veileders kommentarer.
Imidlertid virker det som om du og oppgaveveilederen har to ulike tankesett. Du nevner blant annet at ting kan vises med geometriske eksempler, mens veilederen vil at det skal argumenteres med ord. Det virker også som at du mener i flere tilfeller er relativt enkelt å vise om påstandene er sanne eller usanne, mens veilederen krever mye grundigere (overflødige?) argumentasjoner. Jeg har tatt med noen eksempler fra oppgavebesvarelsen (som ikke ble godkjent) og kommentaren for å vise dette:
"Påstand 1 (usann): "En firkant kan ikke ha tre vinkler som er større enn 90.°"
Ein firkant har fire sider og fire vinklar som har total vinkelsum på 360 grader.
Ein firkant kan bestå av tre vinklar som er større enn 90 grader, og ein vinkel som er mindre, så lenge den innvendige vinkelsummen ikkje overstig 360 grader (n – 2) x 180 grader. Eks. tre vinklar som er 110 grader og ein vinkel på 30 grader.
Påstand 2 (sann): "I et kvadrat står diagonalene 90° på hverandre."
Kvadratet har den eigenskapen at det er ein regulær firkant, der alle fire sidene er like lang og alle fire vinklane er rette, altså 90 grader. Dermed vil den totale innvendig vinkelsummen for kvadratet bli 90x4 = 360 grader.
Når ein delar kvadratet med diagonalar vil ein få same vinkelsummen på
diagonalane, for diagonalane vil få eit felles punkt i midten av kvadratet. Dermed vil
vinklane i diagonalane også verte 90 grader sidan vi har eit regulær firkant.
Påstand 3 (sann): "En side i en trekant kan ikke være lengre enn summen av de to andre sidene."
Pål (svaret på denne påstanden er ikke kommentert i det heile.)
Den lengste sida i ein trekant kan ikkje vere lengre enn summen av dei to
kortaste, fordi då vil ikkje sidene av dei kortaste møtast. Eks. linje på 10cm, og to
kortare på 6cm og 4cm. For å danne ein trekant, må ein ha ein total vinkelsum på
180 grader, set ein dei korte linjene på 6cm og 4cm i kvar sin ende av den lange linja
på 10cm, vil dei ikkje kunne møtast for å danne ein trekant.
Påstand 4 (sann --> feil) "Summen av kvadrata av dei to kortaste sidene i ein trekant er lik kvadratet av den lengste sida."
Sann: Ja, dette er pytagoras setning for rettvinkla trekantar. Den lengste sida heiter hypotenus, og er på motsatt side av den rette vinkelen av dei to andre sidene i
trekanten, som heiter katet. Katetane er kortare enn hypotenus i den rettvinkla trekanten. Pytagoras setning a + b = c gir oss arealet til kvadratet til hypotenusen i trekanten. Pytagoras setning kan sjølvsagt også snuast om for å finne arealet for katetane.
Følgende kommentar ble gitt av veileder:
"Slik påstand 4 står, er den då sann? (Her er jeg enig med veilder at jeg har gjort en feil, fordi jeg kun har tenkt på rettvinklede trekanter)
Har litt problem med grunngjevinga du kjem med for påstand 1 og 2. Det stemmerat påstand 2 er sann og 1 usann, men kvifor er det slik? Her blir du littuklar.
Du kan godt ta utgangspunkt i påstand 4 i undervisningsopplegget, men det blir litt rart
for meg når du berre ser på ein rettvinkla trekant. Dette bør du sjå meir på."
Kom gjerne med innspill på det jeg har svart og veileders kommentarer.
Det er mulig at jeg og oppgaveveilederen har ulikt tankesett. For min del står det ganske klart at geometriske teser naturlig verifiseres/falsifiseres ved geometrisk argumentasjon.
Det å tegne en firkant er nok en noe forenklet argumentasjon, men derimot å vise at en figur med gitte egenskaper kan konstrueres er noe annet.
Det er forøvrig slik at det at vinkelsummen i en firkant er 2 [symbol:pi] ikke umuliggjør eksistensen av disse firkantene, men det er heller ikke noe bevis for at slike firkanter virkelig eksisterer.
Bevis for setningen om diagonalene i en rombe finnes i elementære lærebøker i plangeometri, og beviset er ellers enkelt å utføre.
Påstand tre er som nevnt en direkte konsekvens av postulatet om avstanden mellom to punkter.
Når det gjelder påstand 4 er det tale om å sammenligne to trekanter, der den ene er rettvinkla. I den sammenhengen kan det gjerne være naturlig å vise at Pythagoras gjelder for den reyttvinkla trekanten.
Det er klart at disse påstandene kan formuleres og behandles i en analytisk kontekst. Dette krever imidlertid et sett med definisjoner og et matematisk apparat som jeg neppe tror at oppgavestiller er ute etter.
Jeg skulle gjerne sett hvordan veilederen kunne tenke seg at disse oppgavene skulle presenteres og visualiseres på en fornuftig måte kun med ord!
Det å tegne en firkant er nok en noe forenklet argumentasjon, men derimot å vise at en figur med gitte egenskaper kan konstrueres er noe annet.
Det er forøvrig slik at det at vinkelsummen i en firkant er 2 [symbol:pi] ikke umuliggjør eksistensen av disse firkantene, men det er heller ikke noe bevis for at slike firkanter virkelig eksisterer.
Bevis for setningen om diagonalene i en rombe finnes i elementære lærebøker i plangeometri, og beviset er ellers enkelt å utføre.
Påstand tre er som nevnt en direkte konsekvens av postulatet om avstanden mellom to punkter.
Når det gjelder påstand 4 er det tale om å sammenligne to trekanter, der den ene er rettvinkla. I den sammenhengen kan det gjerne være naturlig å vise at Pythagoras gjelder for den reyttvinkla trekanten.
Det er klart at disse påstandene kan formuleres og behandles i en analytisk kontekst. Dette krever imidlertid et sett med definisjoner og et matematisk apparat som jeg neppe tror at oppgavestiller er ute etter.
Jeg skulle gjerne sett hvordan veilederen kunne tenke seg at disse oppgavene skulle presenteres og visualiseres på en fornuftig måte kun med ord!
1) Det er klart at det eksisterer en likebent trekant med vinkler 44, 44 og 92 grader, og en annen likebent trekant med vinkler 47,47, 86 grader. Disse to kan settes sammen til en firkant med vinkler 92,91,91,86 grader:
3) I planet med vanlig Euclidsk metrikk gjelder trekantulikheten: [tex]|x+y|\leq |x|+|y|[/tex] der x og y er vektorer. |x+y|, |x| og |y| kan sees på som sidelengder i en trekant. Antar vi at sidelengden |x+y| er større enn summen av |x| og |y| vil dette motsi trekantulikheten.
4) Se på en likesidet trekant med sider 1. Da er [tex]1^2+1^2 \neq 1^2[/tex]
3) I planet med vanlig Euclidsk metrikk gjelder trekantulikheten: [tex]|x+y|\leq |x|+|y|[/tex] der x og y er vektorer. |x+y|, |x| og |y| kan sees på som sidelengder i en trekant. Antar vi at sidelengden |x+y| er større enn summen av |x| og |y| vil dette motsi trekantulikheten.
4) Se på en likesidet trekant med sider 1. Da er [tex]1^2+1^2 \neq 1^2[/tex]