matematikk.net

Hjelpemidler: Enkel vitenskapelig kalkulator (uten plotting) og Rottmann formelsamling.

Oppgave 1
[tex]f(x) = \frac{e^\sin{2x}-1}{x} \text{ for }x \neq 0, \text{ og 0 for }x = 0[/tex]
Undersøk om f er kontinuerlig i 0.

Oppgave 2
Hvor mange nullpunkter har funksjonen [tex]f(x) = x^2-\ln(x^2+1)-1[/tex]

Oppgave 3
En båt kjører ut fra kysten i retning rett mot nord. 30 km øst for punktet på kysten hvor båten kjørte ut fra står et fyrtårn. på et tidspunkt observeres det med radar fra fyrtårnet at båten er nøyaktig 50 km fra fyrtårnet og at avstanden mellom båten og fyrtårnet øker med 3 meter per sekund. Hvor fort kjører båten på dette tidspunktet? Svares skal gis i km per time.

Oppgave 4
Gjennom en massiv kule med radius a > 1 bores et sylindrisk hull med radius 1 gjennom kulens sentrum. Hva blir volunmet av den gjenværende kula?

Oppgave 5
Regn ut integralet [tex]\int\frac{3x^2+2x+4}{x^3+4x}dx[/tex]

Oppgave 6
Løs initialverdiproblemet
[tex]y^\prime + tanh(x)y=x,\qquad y(0) = -1[/tex]

Oppgave 7
Vis at potensrekken
[tex]\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{3n+2}}{(3n+2)n!}[/tex]
konvergerer for alle x og at summen blir [tex]\int_0^x te^{t^3}dt[/tex]
Oppgave 8
Funksjonen f er definert ved
[tex]f(x) = \int_0^x\sin(\frac\pi2t^2)dt[/tex]
Finn et polynom p(x) slik at [tex]|f(x)-p(x)|\,<\,0,02[/tex] når [tex]0,9\, <\, x < 1,1[/tex]

Løsningsforslag

Mine svar:

Oppgave 1
2 (glemte å skrive noen konklusjon, men skrev at grenseverdien måtte være lik funksjonsverdien, og fant så grenseverdien.)

Oppgave 2
2 stk pga f'(x) > 0 for x > 0 og f(0) < 0 og f(2) > 0 og krysser dermed x-aksen i (0, 2), men siden den er speilet om y-aksen blir det to nullpunkt.

Oppgave 3
13,5 km/t

Oppgave 4
[tex]\frac{4\pi}3(a^2-1)[/tex]
(glemte å ta med ^(3/2), selv om dette står på linjen før.

Oppgave 5
[tex]3 \ln|x|+arctan(\frac{x}{2})-\ln(\frac{x^2}{x^2+4})+C[/tex]
Dette svaret stusser jeg litt på. Det er ikke identisk med Mathematica sitt svar, men avviker med maks [tex]10^{-15}[/tex] på intervallet [tex](-50, 50) [/tex] og jeg tror derfor det kun har med at datamaskinen bruker numeriske metoder i utregningen. Det kunne nok ha blitt forkortet mer, men jeg syntes ikke det var nødvendig.

Oppgave 6
[tex]y = x \,\tanh\, x - 1[/tex]
Stemmer ifølge Mathematica.

Oppgave 7
Konvergerer etter forholdstesten ettersom[tex] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/tex] går mot 0.
For å vise at rekken er lik integralet kan man derivere den, trekke ut x, sammenligne med rekkeutviklen for [tex]e^{x^3}[/tex], og så derivere integralet for å vise at disse to er like med unntak av en konstant. Denne konstanten er 0 fordi Rekke(0) = Integral(0).

Oppgave 8
Taylorpolynomet av andre orden (første funker også)
[tex]p_2(x) = x-1[/tex]
Viste at dette hadde en viss nøyaktighet ved å finne restleddet til [tex]p_2(x)[/tex] og se at det er under 0.02.

Blir vel en A dette...?

oppgave 1 er ikke riktig :p

Svaret er jo at funksjonen ikke er kontinuerlig i 0, siden funksjonen går mot 2

Oppgave 2 er ikke riktig...
Begge funksjonene er jo strengt voksenende når vi ser på x>0, og samme når vi kun ser på x<0. Så kan vi se at x^2 vokser raskere enn ln(x^2+1) ved å se på den deriverte.

I løsningsforslaget sier de at de bruker skjæringssetningen siden f(0)=-1
men dette stemmer jo ikke siden f(0)=0

Oppgave 5 ser riktig ut

og resten har jeg ikke sett på :p

Sannsynligvis skulle vel funksjonen i oppgave to ha vært [tex]x^2-ln(x^2+1)-1[/tex] eller noe, for ellers regner de jo ut f(2) og f(-2) 'feil' også.

Yup, skrev funksjonen feil.