Er vel kanskje ganske sent ute nå, med tanke på at det er eksamen i morgen.
Men er det én ting fra MAT111 jeg ikke skjønner, så er det epsilon-delta-bevisene. Skjønner definisjonen, og AT det blir ulikheter til syvende og sist. Men jeg klarer ikke å fatte og begripe hvordan man skal komme frem til akkurat de riktige ulikhetene. Enkelte løsningsforslag som står i boken klarer jeg å følge fra start til slutt, men igjen så er det andre jeg ikke klarer å forstå.
Så spørsmålet mitt er ganske enkelt, hvordan kommer man egentlig i gang med disse ulikhetene, og hva er det egentlig man prøver på? Liksom... Hjelp?
Epsilon Delta
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vel, hvis du f.eks skal vise at en funksjon f er kontinuerlig i x, dvs
For enhver [tex]\epsilon > 0[/tex], finnes en [tex]\delta > 0[/tex] slik at [tex]|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex]
så lønner det seg å begynne slik: "Velg en [tex]\epsilon > 0[/tex], vi skal finne en [tex]\delta > 0[/tex] slik at [tex]|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex]."
Hvis funksjonen din f.eks er f(x) = 2x, så kan du se på uttrykket |f(x)-f(y)| = |2x-2y|=2|x-y|
Spør deg selv, hvordan må vi velge delta for denne x slik at dette uttrykket skal være mindre enn vår valgte epsilon? Som du ser vil [tex]\delta = \frac{\epsilon}{2}[/tex] gi at [tex]|f(x)-f(y)| = 2|x-y|<2 \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex], så denne delta fungerer, og funksjonen er altså kontinuerlig.
Denne gangen funket samme delta (for enhver epsilon) for alle x, men noen ganger vil din delta også avhenge av x.
Hvis du har et eksempel som du er usikker på kan du poste det og jeg kan prøve å forklare.
For enhver [tex]\epsilon > 0[/tex], finnes en [tex]\delta > 0[/tex] slik at [tex]|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex]
så lønner det seg å begynne slik: "Velg en [tex]\epsilon > 0[/tex], vi skal finne en [tex]\delta > 0[/tex] slik at [tex]|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex]."
Hvis funksjonen din f.eks er f(x) = 2x, så kan du se på uttrykket |f(x)-f(y)| = |2x-2y|=2|x-y|
Spør deg selv, hvordan må vi velge delta for denne x slik at dette uttrykket skal være mindre enn vår valgte epsilon? Som du ser vil [tex]\delta = \frac{\epsilon}{2}[/tex] gi at [tex]|f(x)-f(y)| = 2|x-y|<2 \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex], så denne delta fungerer, og funksjonen er altså kontinuerlig.
Denne gangen funket samme delta (for enhver epsilon) for alle x, men noen ganger vil din delta også avhenge av x.
Hvis du har et eksempel som du er usikker på kan du poste det og jeg kan prøve å forklare.
Hei, og takk!
Det du skrev nå er vel egentlig nøyaktig det jeg tror jeg forstår, verken mer eller mindre. Her er to eksempler fra boken, Calculus, som vi bruker.
Først:
Verify:
a)
[tex]\lim_{x \to a} x=a[/tex]
og b)
[tex]\lim_{x \to a} k=k[/tex]
Solution
a)
Let [tex]\epsilon > 0[/tex] be given. We must find [tex]\delta > 0[/tex], so that
[tex]0<|x-a|\delta[/tex] implies [tex]|x-a|<\epsilon[/tex]
Clearly, we can take [tex]\delta = \epsilon[/tex] and the implication above will be true. This proves that [tex]\lim_{x \to a} x = a[/tex].
b)
Let [tex]\epsilon > 0[/tex] be given. We must find [tex]\delta > 0[/tex] so that
[tex]0<|x-a|\delta[/tex] implies [tex]|k-k|<\epsilon[/tex]
Since [tex]k-k=0[/tex], we can use any positive number for [tex]\delta[/tex] and the implication above will be true. This proves that [tex]\lim_{x \to a} k=k[/tex].
Dette eksempelet innbiller jeg meg at jeg forstod fullt ut. Men dette neste får jeg mer problemer med å følge med, og jeg hadde i alle fall aldri klart å komme på det selv, helt uten videre. Dvs. jeg henger med på HVA de gjør, men jeg skjønner ikke HVORFOR. Og da ville jeg naturligvis heller ikke klart å finne på det selv heller.
Verify that [tex]\lim_{x \to 2} x^2 = 4[/tex]
Solution
Here [tex]a=2[/tex] and [tex]L=4[/tex]. Let [tex]\epsilon[/tex] be a given positive number. We want to find [tex]\delta > 0[/tex] so that if [tex]0 < |x-2| < \delta[/tex], then [tex]|f(x)-4| < \epsilon[/tex]. Now
[tex]|f(x)-4|=|x^2-4|=|(x+2)(x-2)|=|x+2||x-2|[/tex].
We want the expression above to be less than [tex]\epsilon[/tex]. We can make the factor [tex]|x-2|[/tex] as small as we wish by choosing [tex]\delta[/tex] properly, but we need to control the factor [tex]|x+2|[/tex] so that it does not become too large. If we first assume [tex]\delta \leq 1[/tex] and require that [tex]|x-2| < \delta[/tex], then we have:
[tex]|x-2| < 1 \ \Rightarrow \ 1<x<3 \ \Rightarrow \ 3<x+2<5 \ \Rightarrow \ |x+2| < 5[/tex]
Hence,
[tex]|f(x)-4| < 5|x-2|[/tex] if [tex]|x-2|<\delta \leq 1[/tex]
But [tex]5|x-2| < \epsilon[/tex] if [tex]|x-2| < \frac{\epsilon}{5}[/tex]. Therefore, if we take \delta = [tex]\rm{min}[/tex]{1, €/5} (€=epsilon), the minimum (the smaller) of the two numbers 1 and €/5, then
[tex]|f(x)-4| < 5|x-2| < 5 \times \frac{\epsilon}{5} = \epsilon[/tex] if [tex]|x-2| < \delta[/tex].
This proves that [tex]\lim_{x \to 2} f(x)=4[/tex]
Denne sliter jeg mer med, som sagt. Jeg detter fullstendig av lasset sånn cirka ved "Hence". Fram til det forstår jeg det meste (selv om jeg er litt usikker på hva de mener med å kontrollere x+2 så den ikke blir for stor), men etter det så skjønner jeg ikke mye. Noen hjelpende ord?
Hadde forresten eksamen i MAT111 på UiB i dag, og slapp heldigvis epsilon-delta. Jeg må løpe på jobb nå, men kan poste eksamen når jeg kommer hjem i kveld. Er vel kanskje litt bortkastet da den sikkert kan fåes ferdig digitalt et eller annet sted, men skader vel ikke å ha lastet den opp selv heller.
Det du skrev nå er vel egentlig nøyaktig det jeg tror jeg forstår, verken mer eller mindre. Her er to eksempler fra boken, Calculus, som vi bruker.
Først:
Verify:
a)
[tex]\lim_{x \to a} x=a[/tex]
og b)
[tex]\lim_{x \to a} k=k[/tex]
Solution
a)
Let [tex]\epsilon > 0[/tex] be given. We must find [tex]\delta > 0[/tex], so that
[tex]0<|x-a|\delta[/tex] implies [tex]|x-a|<\epsilon[/tex]
Clearly, we can take [tex]\delta = \epsilon[/tex] and the implication above will be true. This proves that [tex]\lim_{x \to a} x = a[/tex].
b)
Let [tex]\epsilon > 0[/tex] be given. We must find [tex]\delta > 0[/tex] so that
[tex]0<|x-a|\delta[/tex] implies [tex]|k-k|<\epsilon[/tex]
Since [tex]k-k=0[/tex], we can use any positive number for [tex]\delta[/tex] and the implication above will be true. This proves that [tex]\lim_{x \to a} k=k[/tex].
Dette eksempelet innbiller jeg meg at jeg forstod fullt ut. Men dette neste får jeg mer problemer med å følge med, og jeg hadde i alle fall aldri klart å komme på det selv, helt uten videre. Dvs. jeg henger med på HVA de gjør, men jeg skjønner ikke HVORFOR. Og da ville jeg naturligvis heller ikke klart å finne på det selv heller.
Verify that [tex]\lim_{x \to 2} x^2 = 4[/tex]
Solution
Here [tex]a=2[/tex] and [tex]L=4[/tex]. Let [tex]\epsilon[/tex] be a given positive number. We want to find [tex]\delta > 0[/tex] so that if [tex]0 < |x-2| < \delta[/tex], then [tex]|f(x)-4| < \epsilon[/tex]. Now
[tex]|f(x)-4|=|x^2-4|=|(x+2)(x-2)|=|x+2||x-2|[/tex].
We want the expression above to be less than [tex]\epsilon[/tex]. We can make the factor [tex]|x-2|[/tex] as small as we wish by choosing [tex]\delta[/tex] properly, but we need to control the factor [tex]|x+2|[/tex] so that it does not become too large. If we first assume [tex]\delta \leq 1[/tex] and require that [tex]|x-2| < \delta[/tex], then we have:
[tex]|x-2| < 1 \ \Rightarrow \ 1<x<3 \ \Rightarrow \ 3<x+2<5 \ \Rightarrow \ |x+2| < 5[/tex]
Hence,
[tex]|f(x)-4| < 5|x-2|[/tex] if [tex]|x-2|<\delta \leq 1[/tex]
But [tex]5|x-2| < \epsilon[/tex] if [tex]|x-2| < \frac{\epsilon}{5}[/tex]. Therefore, if we take \delta = [tex]\rm{min}[/tex]{1, €/5} (€=epsilon), the minimum (the smaller) of the two numbers 1 and €/5, then
[tex]|f(x)-4| < 5|x-2| < 5 \times \frac{\epsilon}{5} = \epsilon[/tex] if [tex]|x-2| < \delta[/tex].
This proves that [tex]\lim_{x \to 2} f(x)=4[/tex]
Denne sliter jeg mer med, som sagt. Jeg detter fullstendig av lasset sånn cirka ved "Hence". Fram til det forstår jeg det meste (selv om jeg er litt usikker på hva de mener med å kontrollere x+2 så den ikke blir for stor), men etter det så skjønner jeg ikke mye. Noen hjelpende ord?
Hadde forresten eksamen i MAT111 på UiB i dag, og slapp heldigvis epsilon-delta. Jeg må løpe på jobb nå, men kan poste eksamen når jeg kommer hjem i kveld. Er vel kanskje litt bortkastet da den sikkert kan fåes ferdig digitalt et eller annet sted, men skader vel ikke å ha lastet den opp selv heller.
Hei.
Først av alt - gratulerer med vel overstått MAT111-eksamen! Jeg tok den for 1 år siden
.
Når det gjelder det å få en intuitiv forståelse av hva epsilon-delta definisjonen går ut på anbefaler jeg at du ser følgende videoer:
http://www.khanacademy.org/video/epsilo ... t=Calculus
Og:
http://www.khanacademy.org/video/epsilo ... t=Calculus
Her blir definisjonen forklart på en veldig logisk og fin måte!
Først av alt - gratulerer med vel overstått MAT111-eksamen! Jeg tok den for 1 år siden
.Når det gjelder det å få en intuitiv forståelse av hva epsilon-delta definisjonen går ut på anbefaler jeg at du ser følgende videoer:
http://www.khanacademy.org/video/epsilo ... t=Calculus
Og:
http://www.khanacademy.org/video/epsilo ... t=Calculus
Her blir definisjonen forklart på en veldig logisk og fin måte!