Logisk vekst
Posted: 09/01-2011 15:53
Har en oppgave jeg sliter litt med
[tex]y^{\tiny\prime} \, = \, \frac{1}{20}y(1\,-\,\frac{1}{30}y)[/tex]
Her er utregningen min, vet at jeg gjør feil, med delbrøkoppspaltingen min. Men om jeg gjør denne riktig, så gir jo ikke resten mening...
Har rundt 15 slike oppgaver jeg må gjøre, så om noen hadde vist meg denne hadde jeg blitt kjempeglad. Slenger med utregningen min, for å vise at jeg har prøvd.
[tex] y^{\tiny\prime} = \frac{1}{{20}}y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right) [/tex]
Gange med 30
[tex] 30y^{\tiny\prime} = \frac{3}{2}y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right)[/tex]
[tex]30\frac{1}{{y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right)}}\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{3}{2} [/tex]
Integrere
[tex] 30\int {\frac{1}{{y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right)}}} dy = \int {\frac{3}{2}} dx [/tex]
[tex] \frac{1}{{y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right)}} = \frac{1}{{y\left( {\frac{{30 - y}}{{30}}} \right)}} = 1:y\left( {\frac{{30 - y}}{{30}}} \right) = 1 \cdot \frac{{30}}{{y\left( {30 - y} \right)}} [/tex]
[tex] 30\int {\frac{{30}}{{y\left( {30 - y} \right)}}} dy = \int {\frac{3}{2}} dx [/tex]
[tex] \frac{{30}}{{y\left( {30 - y} \right)}} = \frac{A}{y} + \frac{B}{{30 - y}} [/tex]
[tex]30 = A\left( {30 - y} \right) + By [/tex]
Hva skjer her? Får ikke til brøkoppspaltingen
[tex] 30\int {30\left( {\frac{1}{{30y}} - \frac{1}{{30\left( {30 - y} \right)}}} \right)} dy = \int {\frac{3}{2}} dx [/tex]
[tex] 30\int {\frac{1}{y}} - \frac{1}{{\left( {30 - y} \right)}}dy = \int {\frac{3}{2}} dx [/tex]
[tex] 30\left( {\ln \left| {30 - y} \right| + \ln \left| y \right|} \right) = \frac{3}{2}x + C^{\tiny\prime} [/tex]
Hva skjer her på slutten? Hvordan går jeg videre til
[tex]y = \frac{{30{e^{\frac{1}{{20}}x}}}}{{{e^{\frac{1}{{20}}x}} + C}}[/tex]
[tex]y^{\tiny\prime} \, = \, \frac{1}{20}y(1\,-\,\frac{1}{30}y)[/tex]
Her er utregningen min, vet at jeg gjør feil, med delbrøkoppspaltingen min. Men om jeg gjør denne riktig, så gir jo ikke resten mening...
Har rundt 15 slike oppgaver jeg må gjøre, så om noen hadde vist meg denne hadde jeg blitt kjempeglad. Slenger med utregningen min, for å vise at jeg har prøvd.
[tex] y^{\tiny\prime} = \frac{1}{{20}}y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right) [/tex]
Gange med 30
[tex] 30y^{\tiny\prime} = \frac{3}{2}y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right)[/tex]
[tex]30\frac{1}{{y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right)}}\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{3}{2} [/tex]
Integrere
[tex] 30\int {\frac{1}{{y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right)}}} dy = \int {\frac{3}{2}} dx [/tex]
[tex] \frac{1}{{y\left( {1 - \frac{y}{{30}}} \right)}} = \frac{1}{{y\left( {\frac{{30 - y}}{{30}}} \right)}} = 1:y\left( {\frac{{30 - y}}{{30}}} \right) = 1 \cdot \frac{{30}}{{y\left( {30 - y} \right)}} [/tex]
[tex] 30\int {\frac{{30}}{{y\left( {30 - y} \right)}}} dy = \int {\frac{3}{2}} dx [/tex]
[tex] \frac{{30}}{{y\left( {30 - y} \right)}} = \frac{A}{y} + \frac{B}{{30 - y}} [/tex]
[tex]30 = A\left( {30 - y} \right) + By [/tex]
Hva skjer her? Får ikke til brøkoppspaltingen
[tex] 30\int {30\left( {\frac{1}{{30y}} - \frac{1}{{30\left( {30 - y} \right)}}} \right)} dy = \int {\frac{3}{2}} dx [/tex]
[tex] 30\int {\frac{1}{y}} - \frac{1}{{\left( {30 - y} \right)}}dy = \int {\frac{3}{2}} dx [/tex]
[tex] 30\left( {\ln \left| {30 - y} \right| + \ln \left| y \right|} \right) = \frac{3}{2}x + C^{\tiny\prime} [/tex]
Hva skjer her på slutten? Hvordan går jeg videre til
[tex]y = \frac{{30{e^{\frac{1}{{20}}x}}}}{{{e^{\frac{1}{{20}}x}} + C}}[/tex]
