Finn minst total lengde til rørene.

[Integralen]

En geometrioppgave fra boka kalkulus er som følger:
Oppgave 16.
På figuren ser du undersiden av en rektangulær bordplate.Bordplatene er 3 meter lang og 1 meter bred . Den er forsterket av metallrør som går midt under bordet og ut til hvert hjørne slik du ser på figuren. Firmaet som produserer bordene, ønsker at den totale lengden til rørene skal være så liten som mulig. hva er det minste denne lengden kan være?

[Nebuchadnezzar]

Hva har du prøvd?

[Integralen]

Er ikke sikker på om dette er riktig men her er hva jeg tenkte:

1.Å finne areale til trapes og gang det med to siden det er 2 trapes i rektangelet.
2.Å finne arealet til de to like trekantene på hver av sidene i rektangelen.
3.Også legge sammen disse arealene og derivere og finne minst vinkel og sette i den opprinnelige A(x).

Problem:
Da er det om å finne avstanden til den mindterste linje i rektangelet som da vil utgjøre en av sidene i begge trapesene.

Altså hadde jeg likt at du tegnet og forklarte hvordan du tenker oppgaven skal løses for jeg sitter støkkfast.

[Nebuchadnezzar]

Sitter på skolen så litt vanskelig med tegning :p

Oppgaven ber deg ikke om å minimere et areal men å minimere lengden av de gule linjene.

Har løst oppgaven, men vet ikke helt om min måte er den letteste.

Uansett

Tenk deg at du forandrer lengden til den streken i midten. Om du gjør den så liten som mulig får du at lengden av rørene blir

[tex]L=2sqrt{3^2+1^2}[/tex]



Og om vi gjør den så lang som mulig får vi

[tex]L=1+1+3[/tex]



Så den minimale lengden av rørene blir noe mellom disse to ytterpunktene.

Om vi kaller den streken i midten for x, kan du da uttrykke de fire strekene gjennom x?

[Integralen]

Ja, foresten det var lengde

Men hvordan regnet du deg fram til å finne lengden liten som mulig [tex]\: 2\sqrt{3^2+1^2}\:[/tex]
og så lang som mulig
[tex]\: L= 1+1+3\:[/tex]

?

[Nebuchadnezzar]

Laget tegning nå, dette er bare ytterpunktene. Ingen av disse to punktene gir det minste arealet. Det er bare for å kunne visualisere problemet.



Bruk pytagoras til å finne de rosa linjene

Legg de sammen med x, deriver med tanke på x, og sett inn i det opprinnelige uttrykket. Det blir litt stygt, men med litt manipulasjon får man svaret

[tex]A=3+sqrt{3}[/tex]

Som virker riktig

[Integralen]

Lengden:
[tex]4L+x[/tex]

Siden [tex]\: L=\frac{3-x}{2} \:[/tex]

får vi:

De rosa linjene tilsammen blir:
[tex]4 \sqrt{\frac{1}{4}+(\frac{3-x}{2})^2}= 4 \cdot \frac{1}{2}(x^2-6x+10)^{\frac{1}{2}}=2(x^2-6x+10)^{\frac{1}{2}}[/tex]

Så summen av disse 4 rosa linjene pluss x :

[tex]A(x)=2(x^2-6x+10)^{ \frac{1}{2}} +x[/tex]

Så var det å derivere denne med hensyn på x:

[tex]A^\prime(x)=2(x^2-6x+10)^{\frac{1}{2}} +x[/tex]

Det gir :

[tex]x=3-\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

Setter man denne verdien inn i A(x) så får man 3+roten av 3.


Fine tegninger og forklaringer,takk.