Hei er det noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven?
[tex]\: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x +1}+1}{x}[/tex]
Det jeg lurer på er om hvordan jeg skal få bort kvadratroten og løse oppgaven.
Fasit: 1/2
Grenseverdi med kvadratrot
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Jeg antar du mener [tex]\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}[/tex]. Et triks her er å bruke tredje kvadratsetning, som sier at [tex]a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)[/tex]. Legg merke til at telleren her har formen a - b, der [tex]a = \sqrt{x+1}[/tex] og [tex]b=1[/tex].
Trikset går ut på å gange uttrykket med en brøk der teller og nevner er uttrykket a + b (kalles den konjugerte av a - b). Her ganger du altså med [tex]\frac{\sqr{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}[/tex]. Merk at brøken er lik 1, så du forandrer ikke noe på det opprinnelige uttrykket ved å gange med den. Når du har ganget ut i teller og nevner bør ting begynne å falle på plass.
edit: Dette er et ganske lurt triks, som du etter litt trening sikkert vil bli god på, og lett klarer å kjenne igjen når du kan bruke.
En annen regel som kan nevnes her, men som ikke er pensum i R1, er L'Hopitals regel. Den går ut på at hvis du har et uttrykk som går mot enten [tex]\frac{0}{0}[/tex] eller [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex], kan du derivere teller og nevner hver for seg, og så prøve å finne grenseverdien av det nye uttrykket. Veldig ofte blir uttrykket enklere å håndtere. Dersom denne grensen eksisterer, så vil den grenseverdien også være grenseverdien av det opprinnelige uttrykket.
Trikset går ut på å gange uttrykket med en brøk der teller og nevner er uttrykket a + b (kalles den konjugerte av a - b). Her ganger du altså med [tex]\frac{\sqr{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}[/tex]. Merk at brøken er lik 1, så du forandrer ikke noe på det opprinnelige uttrykket ved å gange med den. Når du har ganget ut i teller og nevner bør ting begynne å falle på plass.
edit: Dette er et ganske lurt triks, som du etter litt trening sikkert vil bli god på, og lett klarer å kjenne igjen når du kan bruke.
En annen regel som kan nevnes her, men som ikke er pensum i R1, er L'Hopitals regel. Den går ut på at hvis du har et uttrykk som går mot enten [tex]\frac{0}{0}[/tex] eller [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex], kan du derivere teller og nevner hver for seg, og så prøve å finne grenseverdien av det nye uttrykket. Veldig ofte blir uttrykket enklere å håndtere. Dersom denne grensen eksisterer, så vil den grenseverdien også være grenseverdien av det opprinnelige uttrykket.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
