Fullstendig kvadrat, fremgangsmåte

Gunnhild · 04/03-2011 19:55

Jeg sitter fast og eksempelet i boka hjelper ikke..
Her er oppgaven:

Finn den minste verdien av Y og den tilhørende verdien av X i uttrykket:

Y= X^2 - 6X + 8

04/03-2011 19:59

Prøvd enkelt og greit å derivere?

Gunnhild · 04/03-2011 20:03

Nei, har ikke prøvd det, jeg har prøvd å bruke arbeidregelen som står i boka med å halvere, kvadrere og addere, men får liksom ikke helt til å bruke eksempelet i boka på oppgaven.

ettam · 04/03-2011 20:20

[tex]x^2-6x+8=x^2-6x+3^2-3^2+8=(x-3)^2-1^2=((x-3)-1)((x-3)+1)=(x-4)(x-2)[/tex]

Mot slutten her brukte jeg 3. kvadratsetning.

04/03-2011 20:24

Den deriverte gir jo stigningstallet til funksjonen. Så i topp og bunnpunkter er stigningstallet null (Ta en titt på en graf eller to)

Så for å finne disse punktene kan man enkelt å greit derivere funksjonen og sette den lik. Altså vi spør når funksjonens stigningstall er null, som kan gi topp og bunnpunkter.

[tex]y = x^2 - 4x + 6 [/tex]

[tex]y^{\tiny\prime}=2x-4[/tex]

Når er 2x-4 lik 0 ? Jo når x=2. Altså er x=2 et sted der stigningstallet er null. Dette kan være et topp/bunn/saddelpunkt. Det siste tilfellet kan du se eksempelvis på grafen til x^3 når x=0

For å finne ut hvilken av disse tilfellene vi har. (Og det er viktig, siden oppgaven din ber deg finne minste verdi) kan vi enten derivere igjen(se på den dobbelderiverte). Eller bare se på den deriverte

når x<2 så er stigningstallet negativt. Altså synker funksjonen
når x>2 så er stigningstallet positivt. Altså stiger funksjonen.

Prøv og sett inn noen tall større og mindre enn 2 inn i 2x-4 så ser du dette raskt.

Utifra dette så ser vi at først at funksjonen synker frem til den når x=2 også stiger den igjen. Utifra dette kan vi si at x=2 er et minimumspunkt for funksjonen!

For å finne y-verdien putter vi bare x-verdien vi har inn i funksjonen vår.

[tex]y = 2^2 - 4\cdot2 + 6 [/tex]

[tex]y= 2[/tex]

Altså er den minste verdien av y vi kan ha 2 og den tilhørende x-verdien er 2. Dette gir jo også intuitivt mening. Om x blir veldig stor så ser vi at x^2 blir gigantisk og da vil 2x omtrent ikke spille noen rolle. Mens når x ver veldig liten ser vi at 2x vil være større enn x^2

Håper dette gav svar på eventuelle spørsmål. Bare spør om det er mer du lurer på.

04/03-2011 20:32

Poenget med denne oppgaven er vel at man skal benytte metoden med fullstendig kvadrat for å finne minimumsverdien. Dette er pensum i 1T, ofte før man lærer derivasjon i det hele tatt.

Som ettam viste er [tex]x^2 - 6x + 8 = (x-3)^2 - 1[/tex].

Sistnevnte uttrykk kan ikke bli mindre enn -1. Dette er fordi det minste [tex](x-3)^2[/tex] kan bli er 0. Det skjer når x = 3.

Gunnhild · 04/03-2011 20:38

Takk for svarene begge to, jeg tror jeg skjønte det nå, skal prøve begge fremgangsmåtene

04/03-2011 20:38

Selvfølgelig om man ikke har lært derivasjon kan man bare si at maks/min verdien for funksjoner på formen [tex]y = ax^2+bx+c[/tex]

er gitt ved [tex]-\frac{b}{2a}[/tex]

ettam · 04/03-2011 23:28

hehehe...

Leste kun overskrifta her, ikke selve oppgaven. Beklager

ettam · 04/03-2011 23:29

Nebuchadnezzar wrote:

Selvfølgelig om man ikke har lært derivasjon kan man bare si at maks/min verdien for funksjoner på formen [tex]y = ax^2+bx+c[/tex]

er gitt ved [tex]-\frac{b}{2a}[/tex]

Dessverre er ikke dette med i alle lærebøkene...

Gunnhild · 05/03-2011 00:13

Det var meningen at en skulle bruke fullstendig kvadrat for å finne svaret ja, og jeg har ikke kommet til Derivering enda, men da har jeg fått en forsmak på det som kommer