matematikk.net

Hei!

Har en oppgave som lyder slik:
Løs ligningen [tex]y^{\prime} + 2y=4x[/tex]

Fordi boken min kun har vist hvordan jeg løser ligninger der x ikke inngår, er det enkle spørsmålet mitt: Hva skal jeg gjøre med ligningen når det står 4x, og ikke f.eks 4?

(svaret skal bli [tex]y=2x-1+C*e^{-2x}[/tex])

Trenger bare et lite hint.....

Før du begynner å se igjennom hva jeg har skrevet, må du vite at jeg ikke klarte å løse oppgaven din...

Men poenget er at det bare skal være å kjøre på, å forsøke å holde y på den ene siden og x på den andre.

(vil igjen påpeke at jeg holder på meg slik type regning og er ikke helt trygg)

[tex]$${y^\prime } + 2y = 4x$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } = 4x - 2y$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } * - {1 \over {2y}} = 4x$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 2}\int {{1 \over y}dy = 4\int x } dx$$[/tex]

[tex]$$ - {1 \over 2}\ln \left| y \right| = 4 * {1 \over 2}{x^2} + {C_1}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\ln \left| y \right| = - 2{x^2} + {C^\prime }$$[/tex]

[tex]$${e^{{1 \over 2}\ln \left| y \right|}} = {e^{ - 2{x^2} + {C^\prime }}}$$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\left| y \right| = {e^{ - 2{x^2}}} * {e^{{C^\prime }}}$$[/tex]

[tex]$$y = 2C{e^{ - 2{x^2}}}$$[/tex]

Du gjør en feil i overgangen fra linje 2 til 3. Når du deler på -2y på begge sider av ligningen så får du ikke det du har i linje 3, men [tex]y^\prime \cdot \frac{-1}{2y} = \frac{-4x}{2y} - 1[/tex]. Det hjelper deg ikke stort på vei.

Angående det mstud lurer på: Det er ingen forskjell på om det står 4 eller 4x. Det du uansett skal gjøre er å gange med den integrerende faktoren på begge sider av ligningen. Hva er integrerende faktor her?

Vektormannen wrote:Du gjør en feil i overgangen fra linje 2 til 3. Når du deler på -2y på begge sider av ligningen så får du ikke det du har i linje 3, men [tex]y^\prime \cdot \frac{-1}{2y} = \frac{-4x}{2y} - 1[/tex]. Det hjelper deg ikke stort på vei.

Hva ville vært det riktige å gjøre her, istede for det jeg altså gjorde?

Den integrerende faktoren er [tex]e^{2x}[/tex], er det riktig?

Men da får jeg:

[tex]y^{\prime}+2y=4x[/tex]

[tex]y^{\prime}*e^{2x}+2y*e^{2x}=4x*e^{2x}[/tex]

[tex]\frac {d(e^{2x}y)}{dx}=4x*e^{2x}[/tex] Integrerer begge sider:

[tex]e^{2x}y=4x*1/2 *e^{2x}-4*1/2*\int e^{2x}=2x*e^{2x}-e^{2x}+C[/tex] Deler på e^2x:

[tex]y=2x-1+\frac{C}{e^2x}[/tex] som jo er ganske forskjellig fra fasitsvaret ...

Lurer på om integrerende faktor skulle vært noe annet? Men hvordan skal jeg finne den som noe annet?
Men boken min står det at [tex]y^{\prime}+ay=b[/tex] har integrerende faktor e^{ax}... Så hva er det da som er feil?

Det er riktig. Når du da ganger med dette på begge sider i ligningen så får du at du må løse integralet [tex]xe^{2x}[/tex] på høyre side, som bør gå greit med delvis integrasjon.

edit: ser du endret på posten. Hvordan er svaret ditt forskjellig fra fasitsvaret?

Å, blir det bare: [tex]\frac {C}e^{2x}=C*e^{-2x}[/tex]

Da ble det jo riktig da, eller?

Ja, det stemmer at [tex]\frac{C}{e^{2x}} = Ce^{-2x}[/tex] (antar det var dette du mente?)

Ja, ble bare litt feil i tex-en

Jeg wrote:[tex]$${y^\prime } + 2y = 4x$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } = 4x - 2y$$[/tex]

[tex]$${y^\prime } * - {1 \over {2y}} = 4x$$[/tex]

Jeg ser nå at dette er galt, men hva ville vært det riktige sjakktrekke å gjøre her? Har forsøkt å faktorisere osv, men da henger liksom x-sen på der den ikke skal.

For å løse den uten integrerende faktor,

Går f.eks an å skrive det som:

[tex]x*\frac {y^{\prime}}x+\frac {2y}x=4[/tex],

men vet ikke om det hjelper... Vi hadde nok trengt en Vektormanns kunnskap, det ville i hvert fall ha hjulpet ...

Ellers tror kanskje jeg det skal kunne gå an å løse [tex]\frac {dy}{dx}+2y=4x[/tex] uten å skrive om noe særlig, eller?

edit: rettet skrivefeil i uttrykket

Går det f.eks. an å bruke denne: [tex]\frac{df}{dx}=\frac {df}{dy} * \frac {dy}{dx}[/tex] direkte?

Er ikke kommet til dette helt ennå, men bare lurte...

Hei

La ut oppgaven igjen, kanskje vi får bedre respons på den da.

Aner ikke om det går an det du spør om...

We'll soon find out...

Så det, 1. forslaget ditt til omskriving var feil...

mstud wrote:Så det, 1. forslaget ditt til omskriving var feil...

Tror jeg retta det til det riktige nå, se selv hehe, men så langt lengre gikk det ikke...