La a, m og n være konstanter. Løs differensialligningen[tex] y^{\prime}-my=a*e^{nx} \ for \ m\neq n[/tex] . Finn deretter svaret når m=n
Integrerende faktor er:
[tex]e^{-\int m dx} \ =e^{-mx}[/tex]
Så ganger jeg med integrerende faktor på begge sider og får:
[tex] y^{\prime}*e^{-mx} -my*e^{-mx}=a*e^{nx}*e^{-mx}=a*e^{(n-m)x}[/tex]
Trekker sammen:
[tex](y*e^{-mx})^\prime=a*e^{(n-m)x}[/tex].
Integrerer begge sider, og siden a er en konstant kan den settes utenfor:
[tex]y*e^{-mx}=\int a*e^{(n-m)x}=a\int e^{(n-m)x}[/tex]
Dette integralet gir:
[tex]y*e^{-mx}=\a*\frac 1{n-m} e^{(n-m)x}+C=\frac a{n-m} e^{(n-m)x} + C[/tex]
Så deler jeg begge sider med integrerende faktor [tex][tex][/tex]e^{-mx}, og får:
[tex]\frac {a}{n-m} e^{nx}+c*e^{mx}[/tex]
Dette stemmer med fasit, så da antar jeg det er riktig
SÅ skal jeg finne hva svaret blir når n=m, må jeg da begynne nesten helt på nytt og sette n-m =0 første gangen det inntreffer (der hvor jeg har ganget med integrerende faktor, som blir den samme i dette tilfellet også)? For hvis jeg satte det inn i det uttrykket jeg nettopp fikk ut får jeg jo a delt på null og det blir bare tull
Eller er det noen andre snarveier er som jeg ikke har sett?
? ...