Ubestemt integral som ikke vil løses

[Razzy]

[tex]$$\int {{{{x^3}} \over {{x^2} - x - 2}}} dx$$[/tex]

Fasit: [tex]$${1 \over 2}{x^2} + x + {1 \over 3}\ln \left| {x + 1} \right| + {8 \over 3}\ln \left| {x - 2} \right| + C$$[/tex]

Har prøvd og prøvd, men får ikke fasit svaret!!

Kunne noen forsøkt seg? Utregningen min ligger i posten: Polynomdivisjon

Hjertelig!

[mstud]

Det er feil, ubestemt integral -Unknown er et helt annet integral, det er det Andreas345 hjalp deg med

[mstud]

Nå har jeg det!

Sjekk ut dette:

[tex]x^3=(x-2)A+(x+1)B[/tex]

Når jeg setter inn i denne, får jeg at [tex](-1)^3=-3A[/tex] og [tex]2^3=3B[/tex]

Og det gir de verdiene for A og B som du trenger.

Kom plutselig på at du ikke trenger bruke polynomdivisjon fordi uttrykket under brøkstreken kan faktoriseres til to lineære faktorer

[Razzy]

Hei igjen!

Kom plutselig på at du ikke trenger bruke polynomdivisjon fordi uttrykket under brøkstreken kan faktoriseres til to lineære faktorer

Er dette en regel jeg har oversett?

I læreboken min står følgende setning: Metoden med delbrøkoppspalting kan vi bruke når nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttykk, og når graden av telleren er lavere enn graden av nevneren.
Dersom graden av telleren er større enn eller lik graden av nevneren, må vi utføre en polynomdivisjon først.

[mstud]

Det som er saken her er at nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk, men graden av telleren er 3. og graden av nevneren er 2.

Derfor burde det heller, etter min mening, ha stått noe sånt i boken din som at:

Metoden med delbrøkoppspalting kan vi bruke når nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk, og når graden av telleren er lavere enn graden av nevneren.
Dersom graden av telleren er større enn eller lik graden av nevneren, og/eller nevneren ikke kan faktoriseres iførstegradsuttrykk, må vi utføre en polynomdivisjon først.

Hvis uttrykket oppå brøkstreken hadde vært 4x^3-3x^2+7 , hadde du kanskje kommet lettest i fra det ved å polynomdividere, men ikke i dette tilfellet når uttrykket oppå brøkstreken er så lett å finne verdien av ...

[Razzy]

Det som er saken her er at nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk, men graden av telleren er 3. og graden av nevneren er 2.

Derfor burde det heller, etter min mening, ha stått noe sånt i boken din som at:

Metoden med delbrøkoppspalting kan vi bruke når nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk, og når graden av telleren er lavere enn graden av nevneren.
Dersom graden av telleren er større enn eller lik graden av nevneren, og/eller nevneren ikke kan faktoriseres iførstegradsuttrykk, må vi utføre en polynomdivisjon først.

Hvis uttrykket oppå brøkstreken hadde vært 4x^3-3x^2+7 , hadde du kanskje kommet lettest i fra det ved å polynomdividere, men ikke i dette tilfellet når uttrykket oppå brøkstreken er så lett å finne verdien av ...

Det her er en vanskelig oppgave. Den burde jo fint kunne løses med de metodene jeg har i læreboken min... hm... Kan jo vente til kvelden, kanskje det er noen som kommer med andre løsningsmetoder enn oss?

[mstud]

Åja, ser nå at jeg mangler 1/2x^2 og x. Fikk bare logaritmene til svar

[Razzy]

Åja, ser nå at jeg mangler 1/2x^2 og x. Fikk bare logaritmene til svar

Du sa istad at kanskje feilen kan ligge i polynomdivisjonen, tror du har noe der... Der må feilen ligge!...

[mstud]

Nå får jeg nesten rett svar,skal legge ut min løsning i morgen, så får du se om du kan finne noe som er enda litt bedre eller evt. poste 3. gang med min løsning som forsøket på å løse den, og se om noen kan rette på det.

[Razzy]

Nå får jeg nesten rett svar,skal legge ut min løsning i morgen, så får du se om du kan finne noe som er enda litt bedre eller evt. poste 3. gang med min løsning som forsøket på å løse den, og se om noen kan rette på det.

Hehe du gir deg aldri du! hehe! For en mann!

Har jobba litt med den jeg også, skal nok få det til!

Her er mitt beste forslag, det er ikke vits å gå videre, feilen er allerede her, a og b skal være 1/3 og 8/3:

[tex]$$\int {{{{x^3}} \over {{x^2} - x - 2}}} dx$$[/tex]

[tex]$$\left( {{x^3} + 0{x^2} + 0x} \right):\left( {{x^2} - x - 2} \right) = \underline {x + 1 + {{3x - 2} \over {{x^2} - x - 2}}} $$[/tex]

[tex]$$3x - 2 = A\left( {x + 1} \right) + B\left( {x - 2} \right)$$[/tex]

[tex]$$3 \cdot \left( 2 \right) - 2 = A\left( {2 + 1} \right) + B\left( {2 - 2} \right)$$[/tex]

[tex]$$ - 6 = A\left( 3 \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline {A = - {6 \over 3}} $$[/tex]


[tex]$$3x - 2 = A\left( {x + 1} \right) + B\left( {x - 2} \right)$$[/tex]

[tex]$$3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 = A\left( { - 1 + 1} \right) + B\left( { - 1 - 2} \right)$$[/tex]

[tex]$$ - 5 = B\left( { - 3} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline {B = {5 \over 3}} $$[/tex]



Fasit: [tex]$${1 \over 2}{x^2} + x + {1 \over 3}\ln \left| {x + 1} \right| + {8 \over 3}\ln \left| {x - 2} \right| + C$$[/tex]

[Andreas345]

[tex]$$\int {{{{x^3}} \over {{x^2} - x - 2}}} dx$$[/tex]

[tex]$$\left( {{x^3} + 0{x^2} + 0x} \right):\left( {{x^2} - x - 2} \right) = \underline {x + 1 + {{3x - 2} \over {{x^2} - x - 2}}} $$[/tex]

Du er så nær...så nær..

[tex]$$\left( {{x^3} + 0{x^2} + 0x} \right):\left( {{x^2} - x - 2} \right) = \underline {x + 1 + {{3x+2} \over {{x^2} - x - 2}}} $$[/tex]

Edit: Lå til polynomdivisjonen

[tex]\begin{matrix} x^3 & +& 0x^2 & + &0x & + & 0 & :\, x^2-x-2=\underline{\underline {x + 1 + {{3x + 2} \over {{x^2} - x - 2}}}} \\ -(x^3 &- & x^2 &-& 2x ) & & & & & \\ \hline & & x^2 & + & 2x \\ & - & (x^2 & - & x & - & 2) & \\ \hline & & & & 3x & + & 2 & \\ \end{matrix} [/tex]

[MatteNoob]

Gjorde dette integralet for moroskyld, siden jeg synes det så utfordrende og fint ut.

Nedenfor er mitt løsningsforslag.

[tex]$$\int {{{{x^3}} \over {{x^2} - x - 2}}} dx$$[/tex]

Fasit: [tex]$${1 \over 2}{x^2} + x + {1 \over 3}\ln \left| {x + 1} \right| + {8 \over 3}\ln \left| {x - 2} \right| + C$$[/tex]

Har prøvd og prøvd, men får ikke fasit svaret!!

Kunne noen forsøkt seg? Utregningen min ligger i posten: Polynomdivisjon

Hjertelig!

Du ser at nevner kan faktoriseres slik at

[tex]x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)[/tex]

Da vet du at integranden kan skrives som

[tex]\frac{x^3}{x^2 - x - 2} = \frac{ A (x+1) + B(x-2) } {(x+1)(x-2)}[/tex]

Det betyr at tellerne i de to brøkene skal være like som funksjoner. Altså at

[tex]x^3 = A (x+1) + B(x-2)[/tex]

Vi ser at venstre side ikke har noe konstantledd, og kan derfor skrive om uttrykket på høyre side.

[tex]x^3 = Ax + A + Bx - 2B = x(A + B) + 2(\frac 12 A - B)[/tex]

Dermed har vi et likningssett med to ukjente, nemlig:

[tex]I: x(A+B)=x^3[/tex]
[tex]II: 2(\frac 12 A - B) = 0[/tex]

Løser vi II mhp A, så ser vi at:

[tex]A = 2B[/tex]

som gir [tex]B = \frac 13 x^2[/tex]
og dermed [tex] A = \frac 23 x^2[/tex]

Altså har vi integralet

[tex]\int\frac{x^3}{x^2 - x - 2} dx = \int \frac{ \frac 23 x^2 }{x-2} + \frac{ \frac 13 x^2 }{x+1} dx = \frac 23 \int \frac{x^2}{x-2} dx + \frac 13 \int\frac{x^2}{x+1} dx[/tex]

Her ser vi at telleren er av en høyere grad enn nevneren i begge integralene, og kan derfor polynomdividere.

Dette gir:

[tex]x^2 \div (x-2) = x + 2 + \frac{4}{x-2}[/tex]

og

[tex]x^2 \div (x+1) = x -1 + \frac{1}{x+1}[/tex]

Dette gir oss følgende:

I = [tex]\int\frac{x^3}{x^2 - x - 2} dx = \frac 23 \int x + 2 + \frac{4}{x-2} dx + \frac 13 \int x -1 + \frac{1}{x+1}dx[/tex]

Dette gir oss at:

[tex]I = \frac 23 \cdot \left(\frac 12 x^2 + 2x + 4 \ln|x-2|\right) + \frac 13 \cdot \left(\frac 12 x^2 - x + \ln|x+1|\right) + C[/tex]

Rydder opp.

[tex]I = \frac 12 x^2 + x + \frac 83\ln|x-2| + \frac 13\ln|x+1| + C[/tex]

[Razzy]

Med stor takk til MatteNoob, Andreas345 og ikke minst mstud kan jeg med et lettet hjerte legge ut dette løsningsforlaget:


[tex]$$\int {{{{x^3}} \over {{x^2} - x - 2}}} dx$$[/tex]

Her ser vi at teller er av høyere grad enn nevner, ergo vi må utføre en polynomdivisjon.

[tex]\begin{matrix} x^3 & +& 0x^2 & + &0x & + & 0 & :\, x^2-x-2=\underline{\underline {x + 1 + {{3x + 2} \over {{x^2} - x - 2}}}} \\ -(x^3 &- & x^2 &-& 2x ) & & & & & \\ \hline & & x^2 & + & 2x \\ & - & (x^2 & - & x & - & 2) & \\ \hline & & & & 3x & + & 2 & \\ \end{matrix} [/tex]

[tex]$$\int {{{{x^3}} \over {{x^2} - x - 2}}} dx = \int {x + 1 + {{3x + 2} \over {{x^2} - x - 2}}} dx$$[/tex]

Som vi ser her, må vi utføre en delbrøkoppspalting på høyre side.

[tex]$${{3x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = {A \over {\left( {x + 1} \right)}} + {B \over {\left( {x - 2} \right)}}$$[/tex]

Nå følger vi fremgangsmåten for delbrøkoppspaltingsmetoden, og ganger dermed med fellesnevner over alle ledd.


[tex]$$3x + 2 = A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x + 1} \right)$$[/tex]

Nå fyller vi inn x=-1 for å bli kvitt B, og få frem et svar på A.

[tex]$$3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 = A\left( { - 1 - 2} \right) + B\left( { - 1 + 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$ - 3 + 2 = A\left( { - 1 - 2} \right)$$[/tex]

[tex]$$ - 1 = A\left( { - 3} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline {A = {1 \over 3}} $$[/tex]


[tex]$$3x + 2 = A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x + 1} \right)$$[/tex]

Igjen, vi fyller inn x=2 for å bli kvitt A, slik at vi får frem et svar på B.

[tex]$$3 \cdot \left( 2 \right) + 2 = A\left( {2 - 2} \right) + B\left( {2 + 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$6 + 2 = B\left( {2 + 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$8 = B\left( 3 \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline {B = {8 \over 3}} $$[/tex]

Nå har vi funnet et svar for A og for B, nå gjenstår det bare å fylle inn og løse integralet.


[tex]$$\int {x + 1 + {{3x + 2} \over {{x^2} - x - 2}}} dx = \int {x + 1 + } {{{1 \over 3}} \over {\left( {x + 1} \right)}} + {{{8 \over 3}} \over {\left( {x - 2} \right)}}dx$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {{1 \over 2}{x^2} + x + {1 \over 3}\ln \left| {x + 1} \right| + {8 \over 3}\ln \left| {x - 2} \right| + C}} $$[/tex]

[mstud]

Hei!
Nå har jeg løst den også, etterpå ser jeg at det har vært noen andre ute før meg, men nå Nekter jeg å ikke poste min løsning allikevel, for jeg brukte en litt annen metode, så kan du se den, jeg synes vanligvis den er enklere enn vanlig polynomdivisjon, og pleier vanligvis bruke den på de av mine oppgaver som må polynomdivideres.

Min metode heter "short division" på engelsk, og går ut på å utvide telleren i brøken med ledd som er delelig med nevneren, og trekke dem fra igjen slik at du ikke endrer verdien til uttrykket, slik at du får en brøk som kan forkortes pluss en rest:

Først plusser jeg [tex]-x^2+2x[/tex] på [tex]x^3[/tex] i nevneren, og har så langt[tex]x^3-x^2+2x[/tex] , men foreløpig har jeg forandret verdien til uttrykket, så ser jeg at dersom jeg plusser på nevneren, dvs. [tex]x^2-x-2[/tex] oppå brøkstreken, vil 2.gradsleddet "nulle ut", da har vi [tex]x^3-x^2-2x+x^2-x-2[/tex], hva må vi plusse på nå for at verdien av uttrykket skal bli lik den opprinnelige verdien, nemlig [tex]x^3[/tex], jo [tex]+3x+2[/tex]:
Dermed har vi:

[tex]\int \frac {x^3-x^2-2x+x^2-x-2+3x+2}{x^2-x-2}=\int \frac {(x+1)(x^2-x-2)+3x+2}{x^2-x-2}= \int x+1 + \frac {3x+2}{x^2-x-2}[/tex] slik som enkelte av de andre fikk fra sin polynomdivisjon, og så bruker vi delbrøkoppspalting på siste leddet her , og dermed er vi snart i mål

edit: Rettet en minimal skrivefeil

[Razzy]

Hei!
Nå har jeg løst den også, etterpå ser jeg at det har vært noen andre ute før meg, men nå Nekter jeg å ikke poste min løsning allikevel, for jeg brukte en litt annen metode, så kan du se den, jeg synes vanligvis den er enklere enn vanlig polynomdivisjon, og pleier vanligvis bruke den på de av mine oppgaver som må polynomdivideres.

Min metode heter "short division" på engelsk, og går ut på å utvide telleren i brøken med ledd som er delelig med nevneren, og trekke dem fra igjen slik at du ikke endrer verdien til uttrykket, slik at du får en brøk som kan forkortes pluss en rest:

Først plusser jeg [tex]-x^2+2x[/tex] på [tex]x^3[/tex] i nevneren, og har så langt[tex]x^3-x^2+2x[/tex] , men foreløpig har jeg forandret verdien til uttrykket, så ser jeg at dersom jeg plusser på nevneren, dvs. [tex]x^2-x-2[/tex] oppå brøkstreken, vil 2.gradsleddet "nulle ut", da har vi [tex]x^3-x^2-2x+x^2-x-2[/tex], hva må vi plusse på nå for at verdien av uttrykket skal bli lik den opprinnelige verdien, nemlig [tex]x^3[/tex], jo [tex]+3x+2[/tex]:
Dermed har vi:

[tex]\int \frac {x^3-x^2-2x+x^2-x-2+3x+2}{x^2-x-2}=\int \frac {(x+1)(x^2-x-2)+3x+2}{x^2-x-2}= \int x+1 + \frac {3x+2}{x^2-x-2}[/tex] slik som enkelte av de andre fikk fra sin polynomdivisjon, og så bruker vi delbrøkoppspalting på siste leddet her , og dermed er vi snart i mål

edit: Rettet en minimal skrivefeil

Apropo polynomdivisjon http://www.khanacademy.org/video/polyno ... 20Examples

Tror jeg vil forsøke å beherske den jeg har, men setter virkelig pris på at dere viser hvor uttallig mange måter man faktisk kan gripe en oppgave på. I vårt pensum lærer vi det sikkert veldig grunnleggende, men det er kanskje greit det og?

På en annen side er det en fordel å kunne gjøre det på forskjellige måter, da har man i hvertfall større sjanse til å eleminere slike småfeil som jeg fikk istad.

Igjen, tusen takk! Dere er knallflinke!