Ubestemt integral - substitusjon (vanskelig)

[Razzy]

[tex]$$\int {{x \over {\sqrt {x + 1} }}dx} $$[/tex] jeg velger meg [tex]$$u = \sqrt {x + 1} $$[/tex] og [tex]$${u^{\prime}} = {1 \over {2\sqrt {x + 1} }}$$[/tex]

[tex]$${{du} \over {dx}} = {1 \over {2\sqrt {x + 1} }}$$[/tex] og til slutt [tex]$$2\sqrt {x + 1} du = dx$$[/tex]



[tex]$$\int {{1 \over {\sqrt {x + 1} }}x \cdot 2\sqrt {x + 1} du} $$[/tex]


Jeg vet det er fy fy og ikke bytte ut til u med engang, men ville bare fremheve hva jeg har tenkt.

[tex]$$\int {{1 \over u}x \cdot 2u \cdot du} $$[/tex]

[tex]$$\int {2x \cdot du} $$[/tex]

[tex]$$2 \cdot {1 \over 2}{x^2} + C = \underline {{x^2} + C} $$[/tex]


Fasit: [tex]$$\underline{\underline {{2 \over 3}\left( {x + 1} \right) \cdot \sqrt {x + 1} \cdot 2\sqrt {x + 1} + C}} $$[/tex]

Har jeg funnet en lettere utgave av fasiten, eller har jeg rett og slett funnet noe annet? [/i]

[Vektormannen]

Husk å derivere svaret hvis du er i tvil om det er riktig. Her vil du da få 2x, og det var jo ikke det du skulle integrere, så det må være feil.

Det du har gjort ser veldig bra ut, men det skjærer seg når du kommer til [tex]\int 2x du[/tex]. Du har her et uttrykk med x, men du har [tex]du[/tex], ikke [tex]dx[/tex]. Da blir det feil å integrere 2x med hensyn på x. Her skal du integrere 2x, men med hensyn på en variabel u som x avhenger av. Har du en mulighet for å bytte ut x med et uttrykk med u?

[Razzy]

Husk å derivere svaret hvis du er i tvil om det er riktig. Her vil du da få 2x, og det var jo ikke det du skulle integrere, så det må være feil.

Det du har gjort ser veldig bra ut, men det skjærer seg når du kommer til [tex]\int 2x du[/tex]. Du har her et uttrykk med x, men du har [tex]du[/tex], ikke [tex]dx[/tex]. Da blir det feil å integrere 2x med hensyn på x. Her skal du integrere 2x, men med hensyn på en variabel u som x avhenger av. Har du en mulighet for å bytte ut x med et uttrykk med u?

[tex]$$u = \sqrt {x + 1} $$[/tex]

[tex]$$u = \sqrt x + \sqrt 1 $$[/tex]

[tex]$$\sqrt x = u + 1$$[/tex]

[tex]$$x = \sqrt {u + 1} $$[/tex]

Nå gjenstår det å se om jeg får til resten

[mstud]

Husk å derivere svaret hvis du er i tvil om det er riktig. Her vil du da få 2x, og det var jo ikke det du skulle integrere, så det må være feil.

Det du har gjort ser veldig bra ut, men det skjærer seg når du kommer til [tex]\int 2x du[/tex]. Du har her et uttrykk med x, men du har [tex]du[/tex], ikke [tex]dx[/tex]. Da blir det feil å integrere 2x med hensyn på x. Her skal du integrere 2x, men med hensyn på en variabel u som x avhenger av. Har du en mulighet for å bytte ut x med et uttrykk med u?

[tex]$$u = \sqrt {x + 1} $$[/tex]

[tex]$$u = \sqrt x + \sqrt 1 $$[/tex]

[tex]$$\sqrt x = u + 1$$[/tex]

[tex]$$x = \sqrt {u + 1} $$[/tex]

Nå gjenstår det å se om jeg får til resten

Det der er feil, du kan ikke splitte kvadratroten av en sum slik, første trinn er å kvadrere begge sider, slik at u^2=x+1, så hva er x uttrykt ved u da?

[Vektormannen]

Det der går ikke an! Du kan ikke dele opp et rotuttrykk på den måten. Man har en regel som sier at [tex]\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b[/tex], så det kan jo være fristende å tenke at det gjelder for + også, men det er ikke riktig. Et eksempel: [tex]\sqrt 9 = 3[/tex], men [tex]\sqrt 3 + \sqrt 6 \neq 3[/tex].

Det du må gjøre her er å opphøye begge sider i andre: [tex]u^2 = x+1[/tex], og da får du at [tex]x = u^2 - 1[/tex].

[mstud]

Så da blir integralet ditt:

[tex]\int 2(u^2-1) du=2 \int (u^2-1) du[/tex]

Som er en god del enklere å integrere ....

[Razzy]

Vektormannen og mstud, jeg gir meg, jeg giir meg!

Det gikk nok litt fort i svingene der ja, det ringer tusen når dere sier det.

Jeg lover, det skal ikke skje igjen.

Så da blir integralet ditt:

[tex]$$\int 2 ({u^2} - 1)du = 2\int {({u^2} - 1)} du$$[/tex]

Som er en god del enklere å integrere ....

Den skal jeg nok klare ja, tusen takk!

[Razzy]

Så da blir integralet ditt:

[tex]\int 2(u^2-1) du=2 \int (u^2-1) du[/tex]

Som er en god del enklere å integrere ....

[tex]$$2\int {({u^2} - 1)} du$$[/tex]

[tex]$$2 \cdot {1 \over 3}{u^3} - x + C$$[/tex]

[tex]$${2 \over 3}{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} - x + C$$[/tex]

Istede for at jeg gjør noen teite omskrivninger her, så kan dere kanskje heller gi meg et hint?

Fasit: [tex]$$\underline{\underline {{2 \over 3}\left( {x + 1} \right) \cdot \sqrt {x + 1} \cdot 2\sqrt {x + 1} + C}} $$[/tex]

[mstud]

Så da blir integralet ditt:

[tex]\int 2(u^2-1) du=2 \int (u^2-1) du[/tex]

Som er en god del enklere å integrere ....

[tex]$$2\int {({u^2} - 1)} du$$[/tex]

[tex]$$2 \cdot {1 \over 3}{u^3} - x + C$$[/tex]

[tex]$${2 \over 3}{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} - x + C$$[/tex]

Istede for at jeg gjør noen teite omskrivninger her, så kan dere kanskje heller gi meg et hint?

Fasit: [tex]$$\underline{\underline {{2 \over 3}\left( {x + 1} \right) \cdot \sqrt {x + 1} \cdot 2\sqrt {x + 1} + C}} $$[/tex]

Okei, hint nr. 1 du må gange x-en også med 2

[Razzy]

[tex]$$2\int {({u^2} - 1)} du$$[/tex]

[tex]$$2 \cdot \left( {{1 \over 3}{u^3} - u} \right) + C$$[/tex]

[tex]$${2 \over 3}{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} - 2\left( {\sqrt {x + 1} } \right) + C$$[/tex]

Fasit: [tex]$$\underline {\underline {{2 \over 3}\left( {x + 1} \right)\cdot\sqrt {x + 1} \cdot2\sqrt {x + 1} + C} } $$[/tex]

Så jeg hadde rotet med x igjen, det u jeg driverer med hensyn på! Men det begynner ligne fasiten nå da.

[Vektormannen]

Jeg tror det fasitsvaret der er feil. Det du har fått skal i alle fall være helt riktig. Det kan forenkles videre ved å faktorisere ved å skrive [tex](\sqrt{x+1})^3 = (\sqrt{x+1})^2 \sqrt{x+1} = (x+1)\sqrt{x+1}[/tex].
Da har man en felles faktor [tex]\sqrt{x+1}[/tex] i de to leddene og kan rydde opp litt mer. Men det fastisvaret der må være feil.

[Razzy]

Jeg tror det fasitsvaret der er feil. Det du har fått skal i alle fall være helt riktig. Det kan forenkles videre ved å faktorisere ved å skrive [tex](\sqrt{x+1})^3 = (\sqrt{x+1})^2 \sqrt{x+1} = (x+1)\sqrt{x+1}[/tex].
Da har man en felles faktor [tex]\sqrt{x+1}[/tex] i de to leddene og kan rydde opp litt mer. Men det fastisvaret der må være feil.

Det er det jeg sier Vektormannen, du må være lærerens værste mareritt!