matematikk.net

Vi skal bevise at

[tex]\nabla\cdot F+\frac{\partial \delta}{\delta t}=0[/tex]

Vi tar utgangspunkt i divergensteoremet


og sier at en funksjon F er gitt ved fart, v, ganger tetthet,

[tex]\delta[/tex],

Vi sier at volum av væske ut av en liten arealdel, [tex]\Delta\sigma[/tex], av en overflate er gitt ved:

[tex]\Delta V=v\cdot n \Delta\sigma \Delta t[/tex]

og massen finner man ved å gange med tettheten:

[tex]\Delta m=\delta v\cdot n \Delta\sigma \Delta t[/tex]

raten av masse ut blir da:

[tex]\frac{\Delta m}{\Delta t}=\delta v\cdot n \Delta\sigma[/tex]

hvis vi legger sammen alle små arealdeler får vi approksimasjon for total masse ut fra hele overflaten per tidsenhet:

[tex]\frac{\sum\Delta m}{\Delta t}=\sum\delta v\cdot n \Delta\sigma[/tex]

som når [tex]\Delta t[/tex] og [tex]\Delta\sigma[/tex]
går mot 0 gir fluks ut av overflaten

[tex]\frac{dm}{dt}=\iint\delta v \cdot n d\sigma=\iint F \cdot n d\sigma[/tex]

gjennomsnittelig divergens, gjennomsnittelig flukstetthet i kulen er:

[tex]\frac{1}{volum B} \iiint \nabla \cdot F dV[/tex]


divergensen, [tex]\nabla\cdot F[/tex], er i et punkt P på kulen den samme som gjennomsnittelig divergens

[tex](\nabla\cdot F)_p=\frac{1}{volum B}\iiint \nabla \cdot F dV=\frac{1}{volum B} \iint F \cdot n d\sigma[/tex]

hvis vi gjør radiusen til B veldig liten og den går mot midten av kulen som er punktet Q vil punktet hvor gjennomsnittelig verdi av divergens for kulen er den samme som divergens iet punkt være punktet Q. Og vi får at høyresiden blir:

[tex](\nabla\cdot F)_Q=-\frac{\partial\delta}{\partial t}[/tex]

alså at for en liten del av kulen er divergensen raten av hvor fort tettheten til en væske minker der og

[tex](\nabla\cdot F)+\frac{\partial\delta}{\partial t}=0[/tex]

men jeg ser ikke sammenhengene:

vi har at fluks ut av hele overflaten er
[tex]\frac{\sum\Delta m}{\Delta t}=\sum\delta v\cdot n \Delta\sigma[/tex]

og at delvolum er:

[tex]\Delta V=v\cdot n \Delta\sigma \Delta t[/tex]

altså er samelt volum

[tex]\ V=\sum v\cdot n \Delta\sigma \Delta t[/tex]

hvis vi deler fluks og volum på hverandre får vi vel:

[tex]\frac{\delta}{\Delta t}[/tex]

det ligner litt men jeg får det ikke til å bli

[tex]-\frac{\partial\delta}{\partial t}[/tex]

hvordan kommer det negative fortegnet og hvis noen vet hvorfor det blir delta foran
[tex]\delta[/tex] lurer jeg på det og

her er teksten (litt over en side)

http://bildr.no/view/856606

del 2:

http://bildr.no/view/856608

del 3:

http://bildr.no/view/856609

del 4:

http://bildr.no/view/856610

jeg har aldeles ikke leste alt her. men minustegnet er vel pga noe minker (decreasing)?
dell-tegnet mener du? er vel pga infinitesimale endringer (flere variable).

hvis jeg tenker litt lurt på selve svaret at

[tex](\nabla\cdot F)+\frac{\partial\delta}{\partial t}=0[/tex]

gir det mening for meg at divergens, flukstetthet, ut av et punkt er like mye som forandring i negativ tetthet for funksjonen i det punktet siden fluks er hvor mye som går ut av et område og når noe går ut blir jo tettheten mindre. Jeg bare skjønner ikke mattematikken i utgreiningen.