Hei.
Jeg er litt usikker på hvordan jeg skal gå frem på følgende oppgave:
Show that any linear fractional transformation must be of the form [tex]w = az (a \neq 0)[/tex] when its fixed points are [tex]0[/tex] and [tex]\infty[/tex]
OK. Jeg vet at en linear fractional transformation er på formen:
[tex]w = \frac{az + b}{cz + d}[/tex]
Videre vet jeg at vi har et fikspunkt når vi under transformasjonen [tex]w=f(z)[/tex] har et punkt [tex]z_0[/tex] slik at [tex]f(z_0)=z_0[/tex]
Har derfor tenkt som følger:
For fikspunktet [tex]f(0) = 0[/tex] får vi:
[tex]0 = \frac{a(0) + b}{c(0) + d}[/tex]
[tex]0 = \frac{b}{d}[/tex]
Altså må [tex]b=0[/tex]
Videre har vi for fikspunktet [tex]f(\infty)= \infty[/tex]:
[tex]0 = \frac{c(0) + d}{a(0) + b}[/tex]
[tex]0 = \frac {d}{b}[/tex]
Altså må [tex]d=0[/tex]
Transformasjonen må derfor være på formen:
[tex]w = \frac{az}{cz}[/tex]
[tex]= \frac{a}{c}[/tex]
Men dette stemmer jo ikke med det jeg skal vise. Altså gjør jeg en feil i tenkingen et eller annet sted. Setter veldig stor pris på om noen kan hjelpe meg med dette!
Linear fractional transformation - fixed points
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Har ikke hatt om dette selv før, men ser nå veldig likt ut det du kan se på de første sidene på http://www.math.cornell.edu/~barbasch/c ... ftrans.pdf
Takk for linken.
Det var en del nyttig informasjon her, men ikke noe særlig om fikspunkter. Klarer dermed ikke fremdeles å se helt tydelig hva jeg skal gjøre. Men jeg tror jeg er litt nærere nå! Jeg ser nemlig at jeg nok har gjort en feil for fikspunktet hvor [tex]f(\infty) = \infty[/tex]
Her burde jeg nemlig sette dette opp som:
[tex]\infty = \lim_{z\to \infty} \frac{az + b}{cz + d}[/tex]
Og dette er kun gydlig dersom [tex]c= 0[/tex]. Vi har fra før av funnet ut at [tex]b=0[/tex], så dette gir så løsningen:
[tex]w = \frac{az}{d}[/tex]
Dersom vi setter [tex]d=1[/tex] oppfylles det vi skulle bevise, men hvordan kan vi vite at [tex]d=1[/tex]?
Det var en del nyttig informasjon her, men ikke noe særlig om fikspunkter. Klarer dermed ikke fremdeles å se helt tydelig hva jeg skal gjøre. Men jeg tror jeg er litt nærere nå! Jeg ser nemlig at jeg nok har gjort en feil for fikspunktet hvor [tex]f(\infty) = \infty[/tex]
Her burde jeg nemlig sette dette opp som:
[tex]\infty = \lim_{z\to \infty} \frac{az + b}{cz + d}[/tex]
Og dette er kun gydlig dersom [tex]c= 0[/tex]. Vi har fra før av funnet ut at [tex]b=0[/tex], så dette gir så løsningen:
[tex]w = \frac{az}{d}[/tex]
Dersom vi setter [tex]d=1[/tex] oppfylles det vi skulle bevise, men hvordan kan vi vite at [tex]d=1[/tex]?
Jeg ser ikke helt overgangen du gjør der du viser at d=0. For meg ser det ut som det skulle stått d(0) istedetfor c(0), og tilsvarende under brøkstreken, men vi kan jo ta utregningene her: at [tex]z=\infty[/tex] svarer vel til at [tex]\frac 1 z=0[/tex]. Altså kan du skrive [tex]f(z)=z \Lefrightarrow \frac {az+b} {cz+d}=z \Lefrightarrow \frac 1 z = \frac {cz+d} {az+b} = \frac {c + d \cdot \frac 1 z} {a + b \cdot \frac 1 z}[/tex]. Setter du nå inn [tex]\frac 1 z = 0[/tex] (dvs [tex]z=\infty[/tex]) følger [tex]c=0[/tex], så [tex]f(z)=\frac a d z = Az[/tex]. (Når de skriver [tex]f(z)=az[/tex] mener de at dette skal stemme for en eller annen konstant [tex]a[/tex], og [tex]\frac a d[/tex] er jo unektelig en konstant.)
