matematikk.net

Hei.

Jeg er litt usikker på hvordan jeg skal gå frem på følgende oppgave:


Show that any linear fractional transformation must be of the form [tex]w = az (a \neq 0)[/tex] when its fixed points are [tex]0[/tex] and [tex]\infty[/tex]

OK. Jeg vet at en linear fractional transformation er på formen:

[tex]w = \frac{az + b}{cz + d}[/tex]

Videre vet jeg at vi har et fikspunkt når vi under transformasjonen [tex]w=f(z)[/tex] har et punkt [tex]z_0[/tex] slik at [tex]f(z_0)=z_0[/tex]

Har derfor tenkt som følger:

For fikspunktet [tex]f(0) = 0[/tex] får vi:

[tex]0 = \frac{a(0) + b}{c(0) + d}[/tex]

[tex]0 = \frac{b}{d}[/tex]

Altså må [tex]b=0[/tex]

Videre har vi for fikspunktet [tex]f(\infty)= \infty[/tex]:

[tex]0 = \frac{c(0) + d}{a(0) + b}[/tex]

[tex]0 = \frac {d}{b}[/tex]

Altså må [tex]d=0[/tex]

Transformasjonen må derfor være på formen:

[tex]w = \frac{az}{cz}[/tex]

[tex]= \frac{a}{c}[/tex]

Men dette stemmer jo ikke med det jeg skal vise. Altså gjør jeg en feil i tenkingen et eller annet sted. Setter veldig stor pris på om noen kan hjelpe meg med dette!

Har ikke hatt om dette selv før, men ser nå veldig likt ut det du kan se på de første sidene på http://www.math.cornell.edu/~barbasch/c ... ftrans.pdf

Takk for linken.

Det var en del nyttig informasjon her, men ikke noe særlig om fikspunkter. Klarer dermed ikke fremdeles å se helt tydelig hva jeg skal gjøre. Men jeg tror jeg er litt nærere nå! Jeg ser nemlig at jeg nok har gjort en feil for fikspunktet hvor [tex]f(\infty) = \infty[/tex]

Her burde jeg nemlig sette dette opp som:

[tex]\infty = \lim_{z\to \infty} \frac{az + b}{cz + d}[/tex]

Og dette er kun gydlig dersom [tex]c= 0[/tex]. Vi har fra før av funnet ut at [tex]b=0[/tex], så dette gir så løsningen:

[tex]w = \frac{az}{d}[/tex]

Dersom vi setter [tex]d=1[/tex] oppfylles det vi skulle bevise, men hvordan kan vi vite at [tex]d=1[/tex]?

Jeg ser ikke helt overgangen du gjør der du viser at d=0. For meg ser det ut som det skulle stått d(0) istedetfor c(0), og tilsvarende under brøkstreken, men vi kan jo ta utregningene her: at [tex]z=\infty[/tex] svarer vel til at [tex]\frac 1 z=0[/tex]. Altså kan du skrive [tex]f(z)=z \Lefrightarrow \frac {az+b} {cz+d}=z \Lefrightarrow \frac 1 z = \frac {cz+d} {az+b} = \frac {c + d \cdot \frac 1 z} {a + b \cdot \frac 1 z}[/tex]. Setter du nå inn [tex]\frac 1 z = 0[/tex] (dvs [tex]z=\infty[/tex]) følger [tex]c=0[/tex], så [tex]f(z)=\frac a d z = Az[/tex]. (Når de skriver [tex]f(z)=az[/tex] mener de at dette skal stemme for en eller annen konstant [tex]a[/tex], og [tex]\frac a d[/tex] er jo unektelig en konstant.)

Karl_Erik:

Takk skal du ha. Som du ser fant jeg selv ut at jeg hadde gjort den feilen du påpeker, og fikk også samme svar som deg