Hei.
Jeg skal rekkeutvikle uttrykket:
[tex]f(z) = \frac{1 + \frac{1}{2}z}{1 - \frac{1}{2}z}[/tex] i en omegn om [tex]z_0[/tex].
Begynner først med uttrykket:
[tex]\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z}[/tex]
Dette kan rekkeutvikles til:
[tex]\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z_0}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^{n}[/tex]
Videre har jeg så tenkt å ta:
[tex]f(z) = (1 + \frac{1}{2}(z + z_0 - z_0)) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z_0}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^{n}[/tex]
Som gir:
[tex]f(z) = ((1 - \frac{1}{2}z_0) + (\frac{1}{2}(z + z_0))) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z_0}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^{n}[/tex]
Fasiten har imidlertid her skrevet:
[tex]f(z) = ((1 - \frac{1}{2}z_0) + (\frac{1}{2}(z - z_0))) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z_0}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^{n}[/tex]
Altså har de skrevet [tex]\frac{1}{2}(z - z_0)[/tex] der hvor jeg har [tex]\frac{1}{2}(z + z_0)[/tex] (fasiten har minus heller enn pluss).
Setter stor pris på om noen kan finne ut hva jeg gjør feil!
Kort spørsmål om rekkeutvikling
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
[tex]\frac{\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=\frac{z}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
[tex]z=(z-z_0)-(2-z_0)+2[/tex], så
[tex]\frac{\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=\frac{(z-z_0)-(2-z_0)+2}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
[tex]=\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^{n+1}}{(2-z_0)^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n}}[/tex]
Ser på de siste to summene at alle ledd unntatt -1 fra den siste summen kansellerer. (siden konvergens av taylorrekka betyr at [tex]\lim_{n\to\infty} \frac{(z-z_0)^n}{(2-z_0)^n}=0[/tex])
Summerer vi fås
[tex]\frac{1+\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=-1+\sum_{n=0}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
[tex]=-1+\frac{4}{2-z_0}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}=\frac{2+z_0}{2-z_0}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
PS: Tror ikke du gjorde noe feil, men du kunne skrevet [tex]1+\frac{z}{2}=2-(\frac{z_0}{2}-\frac{z}{2})+(\frac{z_0}{2}-1)[/tex] istedenfor den omskrivningen du gjorde. Godt mulig fasiten ikke er riktig, eller at den har hoppet over noen mellomregninger...
[tex]\frac{\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=\frac{z}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
[tex]z=(z-z_0)-(2-z_0)+2[/tex], så
[tex]\frac{\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=\frac{(z-z_0)-(2-z_0)+2}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
[tex]=\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^{n+1}}{(2-z_0)^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n}}[/tex]
Ser på de siste to summene at alle ledd unntatt -1 fra den siste summen kansellerer. (siden konvergens av taylorrekka betyr at [tex]\lim_{n\to\infty} \frac{(z-z_0)^n}{(2-z_0)^n}=0[/tex])
Summerer vi fås
[tex]\frac{1+\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=-1+\sum_{n=0}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
[tex]=-1+\frac{4}{2-z_0}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}=\frac{2+z_0}{2-z_0}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]
PS: Tror ikke du gjorde noe feil, men du kunne skrevet [tex]1+\frac{z}{2}=2-(\frac{z_0}{2}-\frac{z}{2})+(\frac{z_0}{2}-1)[/tex] istedenfor den omskrivningen du gjorde. Godt mulig fasiten ikke er riktig, eller at den har hoppet over noen mellomregninger...
Last edited by Gustav on 12/04-2011 21:51, edited 2 times in total.
Rart, jeg fikk det samme som wolfram alpha, så kanskje fasiten er feil...?krje1980 wrote:Takk skal du ha!
Jeg ser at du imidlertid ikke har fått samme svar som i fasiten. her skal svaret bli:
[tex]1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^n[/tex]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ta ... 9+at+z%3Da
Kanskje! Jeg har sendt mail til undervisningsassistenten på kurset (oppgaven er en gammel eksamensoppgave) for å få bekreftet om fasiten faktisk tar feil.
Dersom jeg fortsetter med min fremgangsmåte ender jeg opp med:
[tex]\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^n + (z + z_0)\sum_{n=0}^\infty \frac{(z - z_0)^n}{(2 - z_0)^{n+1}}[/tex]
Og da står jeg fast på hvordan jeg kan gå videre. . .
Dersom jeg fortsetter med min fremgangsmåte ender jeg opp med:
[tex]\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^n + (z + z_0)\sum_{n=0}^\infty \frac{(z - z_0)^n}{(2 - z_0)^{n+1}}[/tex]
Og da står jeg fast på hvordan jeg kan gå videre. . .
Ok, da kan du skrive [tex]z+z_0=(z-z_0)-2(2-z_0)+4[/tex] og skrive om summene ledd for ledd.krje1980 wrote:Kanskje! Jeg har sendt mail til undervisningsassistenten på kurset (oppgaven er en gammel eksamensoppgave) for å få bekreftet om fasiten faktisk tar feil.
Dersom jeg fortsetter med min fremgangsmåte ender jeg opp med:
[tex]\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^n + (z + z_0)\sum_{n=0}^\infty \frac{(z - z_0)^n}{(2 - z_0)^{n+1}}[/tex]
Og da står jeg fast på hvordan jeg kan gå videre. . .
OK, bra du fant ut av det. Mulig man kan skrive om summen slik at man får den på samme form som fasiten, men har ikke tid til å se noe på det akkurat nå...krje1980 wrote:Tusen takk! Det jammen litt vanskelig å få kontroll på hvordan man kan manipulere uttrykk for å få rekker til å "gå opp".