matematikk.net

Hei.

Jeg skal rekkeutvikle uttrykket:

[tex]f(z) = \frac{1 + \frac{1}{2}z}{1 - \frac{1}{2}z}[/tex] i en omegn om [tex]z_0[/tex].

Begynner først med uttrykket:

[tex]\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z}[/tex]

Dette kan rekkeutvikles til:

[tex]\frac{1}{1 - \frac{1}{2}z_0}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^{n}[/tex]

Videre har jeg så tenkt å ta:

[tex]f(z) = (1 + \frac{1}{2}(z + z_0 - z_0)) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z_0}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^{n}[/tex]

Som gir:

[tex]f(z) = ((1 - \frac{1}{2}z_0) + (\frac{1}{2}(z + z_0))) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z_0}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^{n}[/tex]

Fasiten har imidlertid her skrevet:

[tex]f(z) = ((1 - \frac{1}{2}z_0) + (\frac{1}{2}(z - z_0))) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z_0}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^{n}[/tex]

Altså har de skrevet [tex]\frac{1}{2}(z - z_0)[/tex] der hvor jeg har [tex]\frac{1}{2}(z + z_0)[/tex] (fasiten har minus heller enn pluss).

Setter stor pris på om noen kan finne ut hva jeg gjør feil!

[tex]\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]

[tex]\frac{\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=\frac{z}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]

[tex]z=(z-z_0)-(2-z_0)+2[/tex], så

[tex]\frac{\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=\frac{(z-z_0)-(2-z_0)+2}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]

[tex]=\sum_{n=0}^\infty\frac{2(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^{n+1}}{(2-z_0)^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n}}[/tex]

Ser på de siste to summene at alle ledd unntatt -1 fra den siste summen kansellerer. (siden konvergens av taylorrekka betyr at [tex]\lim_{n\to\infty} \frac{(z-z_0)^n}{(2-z_0)^n}=0[/tex])

Summerer vi fås

[tex]\frac{1+\frac{z}{2}}{1-\frac{z}{2}}=-1+\sum_{n=0}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]

[tex]=-1+\frac{4}{2-z_0}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}=\frac{2+z_0}{2-z_0}+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(z-z_0)^n}{(2-z_0)^{n+1}}[/tex]


PS: Tror ikke du gjorde noe feil, men du kunne skrevet [tex]1+\frac{z}{2}=2-(\frac{z_0}{2}-\frac{z}{2})+(\frac{z_0}{2}-1)[/tex] istedenfor den omskrivningen du gjorde. Godt mulig fasiten ikke er riktig, eller at den har hoppet over noen mellomregninger...

Takk skal du ha!

Jeg ser at du imidlertid ikke har fått samme svar som i fasiten. her skal svaret bli:

[tex]1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^n[/tex]

krje1980 wrote:Takk skal du ha!

Jeg ser at du imidlertid ikke har fått samme svar som i fasiten. her skal svaret bli:

[tex]1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^n[/tex]

Rart, jeg fikk det samme som wolfram alpha, så kanskje fasiten er feil...?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ta ... 9+at+z%3Da

Kanskje! Jeg har sendt mail til undervisningsassistenten på kurset (oppgaven er en gammel eksamensoppgave) for å få bekreftet om fasiten faktisk tar feil.

Dersom jeg fortsetter med min fremgangsmåte ender jeg opp med:

[tex]\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^n + (z + z_0)\sum_{n=0}^\infty \frac{(z - z_0)^n}{(2 - z_0)^{n+1}}[/tex]

Og da står jeg fast på hvordan jeg kan gå videre. . .

krje1980 wrote:Kanskje! Jeg har sendt mail til undervisningsassistenten på kurset (oppgaven er en gammel eksamensoppgave) for å få bekreftet om fasiten faktisk tar feil.

Dersom jeg fortsetter med min fremgangsmåte ender jeg opp med:

[tex]\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z - z_0}{2 - z_0}\right)^n + (z + z_0)\sum_{n=0}^\infty \frac{(z - z_0)^n}{(2 - z_0)^{n+1}}[/tex]

Og da står jeg fast på hvordan jeg kan gå videre. . .

Ok, da kan du skrive [tex]z+z_0=(z-z_0)-2(2-z_0)+4[/tex] og skrive om summene ledd for ledd.

Tusen takk! Det jammen litt vanskelig å få kontroll på hvordan man kan manipulere uttrykk for å få rekker til å "gå opp" .

krje1980 wrote:Tusen takk! Det jammen litt vanskelig å få kontroll på hvordan man kan manipulere uttrykk for å få rekker til å "gå opp" .

OK, bra du fant ut av det. Mulig man kan skrive om summen slik at man får den på samme form som fasiten, men har ikke tid til å se noe på det akkurat nå...

Jeg tror imidlertid at du har rett. Når jeg ganget ut og summerte ledd for ledd endte jeg opp med samme svar som deg.

Kan forresten opplyse om at jeg har fått svar fra undervisningsassistenten. Han bekreftet at fasiten er feil.