matematikk.net

Hei, jeg sliter veldig med denne rekke-oppgaven, kan noen hjelpe meg?

SUM [((n^2)(2^(n-1)))/(-5)^n,{n,1,Infinity}]

http://www.wolframalpha.com/input/?fp=1&i=Sum[%28%282n-3%29%2f%28%28n^2%29%2bn-3%29%29%2c{n%2c1%2cInfinity}]&_=1302632898198&incTime=true

I wolframalpha står det at rekken divergerer, men jeg forstår ikke helt hvordan den kommer frem til svaret.

På det tredje punktet i listen står det 'Convergence tests', og den klarer ikke de to første, men ved integraltesten finner den ut at rekken divergerer.

Denne kan vel også løses ganske greit gjennom bruk av limit comparison test? (har ikke tid til å demonstrere dette nå, men hvis trådstarter ikke er kjent med denne teknikken kan jeg se om jeg får lagt det inn i morgen formiddag).

Hei, ja, det hadde vært veldig fint om du kunne tatt deg tid til. Setter stor pris på det.

OK. Her sammenligner vi din serie:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-3}{n^{2}+n-3}[/tex]

med serien:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}[/tex] (som vi vet divergerer)

Vi tar så:

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac {2n-3}{n^{2}+n-3}}{\frac {2}{n}}[/tex]

[tex]=\lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}-3n}{2n^{2}+2n-6}[/tex]

[tex]=\lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{n}}{2 + \frac{2}{n} - \frac{6}{n^{2}}}[/tex]

[tex]= \frac{2}{2} = 1[/tex]

Ettersom [tex]1>0[/tex] kan vi dermed konkludere med at grensen divergerer

krje1980 wrote:OK. Her sammenligner vi din serie:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-3}{n^{2}+n-3}[/tex]

med serien:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}[/tex] (som vi vet divergerer)

Hvorfor sammenligner du med nettopp den rekken? Og hvordan får du
denne [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}[/tex] til å bli dette?

Vet du forøvrig noen ressurssider om rekker til selvstudium?

Tusen hjertelig takk for at du tar deg tid til å svare. At smarte folk som deg gjør dette betyr mer enn du kan tro.

Hei igjen!

Jeg foreslår at du søker på "limit comparison test" på YouTube. Da får du opp flere informative videoer som forklarer fremgangsmåten svært bra!

Det vi egentlig gjør er å sammenligne med rekker som ligner på de uttrykkene vi får for svært høye verdier for n. I uttrykket ditt vil det for høye verdier for n være leddet som er opphøyet i annen som vil dominere. Altså sammenligner vi med den formen som uttrykket får (i dette tilfellet 2/n). Vi tar så grenseveriden for de to uttrykkene når de går mot uendelig. Vi setter det opprinnelige uttrykket i telleren på en brøk, og sammenligningsuttrykket i nevneren. Dersom uttrykket vi sammenligner med divergerer, så vil det opprinnelige uttrykket du hadde også diveregere dersom tallet vi får for grenseverdien er større enn 0. Dersom uttrykket vi sammenligner med konvergerer, vil det opprinnelige uttrykket også konvergere dersom tallet for grenseverdien vi får er mindre enn [symbol:uendelig] .

Det finnes masse bevis for dette på nettet. Du kan google deg frem til det uten problemer .

Ellers hyggelig å høre at du setter pris på hjelpen!. Selv er jeg også svært takknemlig ovenfor enkelte av gjengangerne på forumet her som til stadighet hjelper meg .