matematikk.net

vi har en vektor r(t). Fart per tidsenhet er da:

dr/dt=v

akselrasjon per tidsenhet blir da:

dv/dt=a

Så hvis man skal derivere r med hensyn på lengde må man bruke kjerneregelen:

[tex]\frac{dr}{ds}=\frac{dr}{dt} \frac{dt}{ds} [/tex]

Her starter mine personlige grunninger (ta avstand den som vil:))

fra buelengdeformel har vi:

[tex]\int sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt[/tex]

som vi ser fra pytagoras i 3d.

derfor er
[tex]sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2}=|v|=\frac{ds}{dt}[/tex]

Derfor får vi noe som kalles T

[tex]\frac{dr}{ds}=\frac{dr}{dt} \frac{dt}{ds} =\frac{v}{|v|}=T [/tex]

(hvis det er en grunn til at dr/ds blir dr/dt delt på lengden til v så kan gjerne noen forklare:))

som må ha samme retning som



[tex]\frac{dr}{dt}[/tex]

så deriverer man

T på s:

[tex]\frac{dT}{ds}=\frac{dT}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{dT}{dt}\frac{1}{|v|}[/tex]

hvis vi deler denne med lengden på seg selv får vi en vektor N:

[tex]\frac{\frac{dT}{dt}\frac{1}{|v|}}{|{\frac{dT}{dt}\frac{1}{|v|}|}[/tex]

som ganske enkelt skulle bli:

[tex]N=\frac{\frac{dT}{dt}}{|{\frac{dT}{dt}|}[/tex]

N skal alltid være normal til T som gir stigningstallet til kurven. Mens a skal gi akselrasjon i alle retninger. Langs T eller normalt på T. a er r(t) derivert med hensyn på t to ganger. N er r(t) derivert på hensyn med s de gode gamle meterene.

[tex]\frac{dr}{ds}=\frac{v}{|v|}[/tex]

så den har samme retning som v. Hvorfor har N og a forskjellig retning? Tenkte jeg skulle greie ut og prøve å forklare mine funderinger som jeg nå har gjort et forsøk på først. Og hvis noen klarer, eller orker, å lese seg igjennom er altså det spørsmålet mitt:)

Grunnen til at [tex]\frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}s}=\frac{\frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}t}}{\left|\frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}t}\right|}[/tex] er fordi parameteren [tex]s[/tex] er definert slik. Parameterisert av [tex]s[/tex] har en partikkel som følger kurven konstant hastighet lik 1.

Uttrykket ditt for [tex]\hat{N}[/tex] er galt. Det riktige uttrykket er [tex]\frac{\frac{\rm{d}\hat{T}}{\rm{d}t}}{\left|\frac{\rm{d}\hat{T}}{\rm{d}t}\right|}[/tex]. Hvis hastigheten langs kurven er konstant lik 1, er forskjellen mellom [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\hat{N}[/tex] kun multiplikasjon med en konstant, og denne konstanten kalles krumningen til kurven.

er et mulig å vise hvorfor den har konstant hastighet 1 når den er parameterisert av s? Hadde vært utrolig:)

Du kan ikke vise hvorfor det er slik nettopp fordi det er slik parameteren s er definert. Det du kan gjøre er å utlede sammenhengen mellom [tex]t[/tex] og [tex]s[/tex] ut ifra denne definisjonen, og denne er gitt ved

[tex]\int_{0}^t |\vec{v}(t^\prime)|\rm{d}t^\prime=s(t)[/tex]

Merk at jeg her bruker [tex]t^\prime[/tex] som er integrasjonsvariabel, ikke som et derivasjonssymbol.

Merk også at det vi gjør her er å bruke kurvelengden som parameter.

Her er en oppgave til deg: Kan vi alltid finne [tex]t(s)[/tex] ([tex]t[/tex] som funksjon av [tex]s[/tex]) ut ifra denne definisjonen? Hvorfor/hvorfor ikke?

[tex]|v(t)|=\frac{ds}{dt}[/tex]

[tex]\frac{dt}{ds}=\frac{1}{|v(t)|}[/tex]

da prøver jeg

[tex]t(s)=ln|v(t)| + C[/tex]

Måten jeg nå prøvde å skjønne at T har konstant hastighet er at



[tex]T=\frac{v}{|v|}[/tex]

dermed er lengden til T konstant 1 og den beveger seg 1 per tidsenhet. Blir det riktig?

gill wrote:da prøver jeg

[tex]t(s)=ln|v(t)| + C[/tex]

Dette er ikke riktig ettersom. [tex]|v(t)|\neq t[/tex]. Bruk integralet til å besvare oppgaven. JEg ber deg ikke om å finne [tex]t(s)[/tex], bare vise at den finnes.

[tex]|v(t)|=\frac{ds}{dt}[/tex]

[tex]\frac{dt}{ds}=\frac{1}{|v(t)|}[/tex]

dette må integreres men siden vi skal ha t som funksjon av s og uttrykket er
|v| av t må vi fjerne kjernen dt/ds og integrer for t?

[tex]t(s)=\frac{ln|v(t)|}{dt/ds}[/tex]





Blir det riktig?

Nei. Du har [tex]t(s)=\int_{0}^s \frac{1}{|\vec{v}(t(s^\prime))|}\rm{d}s^\prime=\int_{0}^s \frac{1}{\frac{\rm{d}\vec{r}}{\rm{d}t} (t(s^\prime))} \rm{d}s^\prime[/tex]

Dette er en såkalt integralligning, og det er umulig, så vidt jeg vet, å gjøre noe mer med denne før du har satt inn et uttrykk for [tex]|\vec{v}(t(s^\prime))|[/tex].

Du gjør dette for tungvindt. Alt jeg bad deg om var å gi et argument for at det er mulig å finne en funksjon [tex]t(s)[/tex], jeg sa ingenting om å faktisk finne den.