bevis av grenseverdi

[gill]

Jeg skall prøve å vise at z har grense i (0,0)

[tex]z=-\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]

Jeg tror det går med polarkoordinater fordi man får

[tex]rcos\theta sin^2\theta[/tex]

som i origo alltid går mot 0 for alle vinkler siden utfallet av verdiene til sin og cos er små. Har jeg blitt fortalt. Hvis dette stemmer og grensen eksisterer lurte jeg på om man kunne vise det ved å sette y=xm. Jeg får det ikke til fordi jeg får uttrykk med x og m og da tenker jeg at grenseverdien tilnærmes forskjellig fra forskjellige baner til origo. Noen som ser hva som er problemet?

[Vektormannen]

Det er helt riktig at du kan bruke polarkoordinater. Siden [tex]-r \leq r cos \theta \sin^2 \theta \leq r[/tex] gir skviseteoremet at uttrykket må gå mot 0.

Du vil få vansker med å vise det på andre måter. Hvis du setter y = mx så kommer du i mål, men da har du bare vist at funksjonen grenser mot 0 langs alle rette linjer gjennom origo. Man kan jo også nærme seg 0 langs andre kurver. Det du kan gjøre er å bevise rent formellt at grensen eksisterer ved å benytte epsilon-delta, men det vil være mye mer tungvint enn å benytte polarkoordinater.

EDIT: skrivefeil.

[gill]

kan du vise det du mener med at du har vist at den nærmer seg (0,0) gjennom alle rette linjer og hvordan man ser at den bare nærmer seg (0,0) gjennom rette streker ved å skrive om til y=mx. Hva er ikke rette streker lurte jeg på da. Hvis den skal nærme seg (0,0) må vel det skje ved z=0 og siden z er gitt ved xy^2 i nevner?

[Vektormannen]

Det jeg mente var at hvis du lar y = kx så får du grensen av [tex]-\frac{x(mx)^2}{x^2 + (mx)^2} = -\frac{m^2x}{1+m^2}[/tex], som blir 0. Men det er ikke nok til å konkludere med at grensen av z er 0. Man kan jo også la z nærme seg 0 langs alle parabler, f.eks. på formen [tex]y = kx^2[/tex]. Da vil man, igjen, få at grensen blir 0. Men man kan fortsatt nærme seg origo på andre måter. Så man kan ikke vise at en grense har en eller annen verdi ved å f.eks. la y = kx. Da har man kun vist at grensen gjelder når man nærmer seg origo langs kurver på den formen.

Hvis man derimot benytter polarkoordinater kommer man frem til den grensen som du skreiv over her. Da ser man at uansett hva vinkelen [tex]\theta[/tex] er, vil grensen når r går mot 0, bli 0. Det betyr at uansett fra hvilken vinkel og hvordan man nærmer seg origo, vil z måtte gå mot 0.

Det jeg mener her er kanskje enklest å illustrere med en funksjon som ikke grenser mot samme verdi fra alle retninger. Se f.eks. på funksjonen [tex]z = \frac{x^2y^2}{x^4 + y^4}[/tex]. Hvis man lar y = kx så får man [tex]z = \frac{k^2x^4}{x^4(1 + k^4)} = \frac{k^2}{1+k^4}[/tex]. Da ser man at grensen vil avhenge av hvilken linje man nærmer seg origo langs! Hvis man lar y = 2x så vil det gi en annen grense enn y = 3x. Og hvis man f.eks. lar [tex]y = \sqrt x[/tex] så får man grensen av [tex]\frac{x^3}{x^4 + x^2} = \frac{x}{x^2 + 1}[/tex] som er 0. Konklusjonen av dette er altså at det ikke eksisterer noen grense for z i origo.