la grange multipliers

[gill]

Jeg lurer på la grange fordi jeg har skjønt at for en nivåkurve f(x,y)=c vil den deriverte

[tex]\frac{f(x,y)}{ds}=\nabla f\cdot v=0[/tex] (a)

hvor

[tex]v=\frac{dr}{ds}[/tex]


siden (a) er 0 må [tex]\nabla f[/tex] gå normalt ut fra kurve ettersom v er tangent. Når den deriverte er 0 er det topp eller bunnpunkt skulle jeg jo mene og det kan for r(t)=g(t)i+h(t)j hvor x=g(t) og y=h(t) deriveres til å bli 0 som (a) når det er topp eller bunnpunkt



men i oppgaver sier de for eks bare (syns nå i hvert fall jeg)

finn maksimum og minimumverdier tilfunksjonen f(x,y)=3x+4y på sirkelen

[tex]g(x,y)=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0[/tex]

her er det ingen r(t). Den kan jo forsåvidt ha hvilken som helst retning. Så er det så enkelt at på grunn av at r kan ha hvilken som helst retning vil det være topp eller bunnpunkt for en r hvor



[tex]\nabla f=\lambda\nabla g[/tex] (b)

så vil topp eller bunnpunkt ha samme retning. Men på en sirkel da vil ikke alle punkter kunne være topp eller bunnpunkt for en gitt vektor. Blir det riktig?

hvis (b) stemmer vil det si at toppunktet i retningen til r stemmer da. Altså at man ikke har funnet et topppunkt for grafen i forhold til koordinataksene. Men et toppunkt eller bunnpunkt i forhold til en vektor r som ikke er definert siden dens deriverte forandrer seg i retning v som er tangenten.

og hvis det jeg har spurt om til nå stemmer vil det si at hvis man finner et punkt hvor de (b) stemmer hvorfor må da

[tex]\nabla f\cdot v=0[/tex]


i det punktet når v for g(x,y) bare kan gå i en retning. HVorfor må (a) stemme for f i retningen til v for g(x,y) i punktet?

[Vektormannen]

Jeg sliter litt med å få tak i hva du lurer på her. Det er riktig at gradienten til f må stå normalt på tangentvektoren til kurven. Hvis ikke ville f hatt en retningsderivert som er forskjellig fra 0 i ekstremalpunktet. Det hadde blitt som om tangenten ikke var flat i et kritisk ekstremalpunkt på en vanlig énvariabel funksjon.

Men det er også et teorem som sier at gradienten til en funksjon alltid står normalt på funksjonens nivåkurver, i et hvert punkt. Men i ditt tilfelle har vi da altså at både gradienten til f og gradienten til denne begrensende funksjonen g skal stå normalt på kurven g(x,y) = 0. Hvis begge skal gjøre det, må de være parallelle med hverandre, så [tex]\nabla f = \lambda \nabla g[/tex], hvor [tex]\lambda[/tex] er et eller annet slikt tall (husk at to vektorer er parallelle dersom den ene kan uttrykkes som en skalar ganget med den andre.)

[gill]

det var det jeg trodde atde mååte være parallelle for at la grange skulle gi mening (sånn ver det). Fordi jeg tenker at for g(x,y,z)=0 vil jo være en nivåkurve for alle verdier og alle deriverte av den med en gitt r vil være 0. Men når man finner

[tex]\nabla f[/tex] i retning til den så har man funnet toppunkt på g(x,y,z) i forhold til r hvor f(x,y,z) skjærer g(x,y,z). Er det det man skal finne. Theoremet sier (lagt ved her:)

http://bildr.no/view/877719

at man skal finne lokalt maksimum og minimum av f(x,y,z) i forhold til g(x,y,z) og det skjønner jeg ikke helt hvordan regnereglene finner.

[Vektormannen]

Såvidt jeg ser så begynner det jo et eksempel som viser dette helt nederst?

Men jeg kan ta den funksjonen du postet i sted. Ved å bruke denne metoden får du tre ukjente. Du skal finne x og y, men du har også det ukjente lengdeforholdet [tex]\lambda[/tex] mellom gradientene. Her trenger du altså til sammen tre ligninger. Du har at [tex]\nabla f = (3,4)[/tex] og [tex]\nabla g = \left(\frac{x}{4}, y\right)[/tex]. Da får du at [tex](3,4) = \lambda \left(\frac{x}{4}, y\right)[/tex], som gir deg to ligninger med x, y og [tex]\lambda[/tex]. Du har også at [tex]\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} - 1 = 0[/tex]. Resten av jobben er da å løse systemet av disse tre ligningene.

[gill]

jeg prøvde å gjøre forståelsen litt bedre for en stakkar.

Jeg prøver å tenke meg fram til noe som helst forståelse. Det siste er at hvis man ser på f(x,y) som nivåkurver kan man lage uendelig mange nivåkurver. For nivåkurvene vil den største av dem bare tangere g(x,y) i et punkt og vi vil få den høyeste verdien av f(x,y) som er på g(x,y) sitt definisjonsområde fra den. Men hvorfor må det være et sted som tangerer g(x,y) slik at gradienten til f-(x,y) er i samme retning som gradienten til g(x,y) hva hvis det vær et punkt hvor f(x,y) var på et punkt av g(x,y) som ikke hadde gradient i samme retning for g(x,y)-k=0 og f(x,y)=c?

For eksempel det analytiske beviset her?

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ ... tes_22.pdf



Ja stort sett det jeg får ut av å tenke på det derre der