deriviasjon med e

[mela]

Jeg holder nå på med forberedelser til matte eksamen R1, men jeg sliter litt med å skjønne reglene for derivasjon av e.

I en kapitteltest i boken er det en oppgave

x`2 ganger e`2x

Jeg har sett løsningforslag i boken, men jeg skjønner ikke hvordan de får det resultatet de får.

Håper noen kan hjelpe meg med derivasjon med e


hilsen mela

[Markonan]

Derivering av e er ikke så vanskelig.

Er dette oppgaven?
[tex]f(x) = x^2\cdot e^{2x}[/tex]

Først, så ser man at dette er et produkt av to funksjoner:
f(x) = g(x)h(x)

der g(x) = x[sup]2[/sup], og h(x) = e[sup]2x[/sup]. Da bruker du produktregelen:

[tex]f^{\tiny\prime}(x) = g^{\tiny\prime}(x)h(x) + g(x)h^{\tiny\prime}(x)[/tex]

Finn de deriverte til g(x) og h(x), sett inn over og se om du kommer noe lengere.

Edit
Åja. Du sleit med derivasjon av e.

Den vanlige regelen, der k er et tall:
[tex]\big(e^{kx}\big)^{\tiny\prime} = ke^{kx}[/tex]

(her bruker man egentlig kjerneregelen). Hvis k=1, så ser du at den deriverte av e[sup]x[/sup] bare er e[sup]x[/sup].

[mela]

det var riktig oppgave, men jeg skjønner fortsatt ikke derivasjonen.

Beklager at det blir litt rotete dette her, men håper det blir forståelig
* betyr gange

x`2 * e`2x =
2x *e`2x + x`2 *e`2x * 2 =
2x`2*e`2x + 2x*e`2x =
(2x`2 + 2x) e`2x


Dette er løsningsforslaget, men jeg skjønner ikke hvordan de kommer frem til det. Jeg hadde brukt produktregelen slik at jeg hadde fått u`*v + u * v` og da kommer jeg frem til at

x`2 * e`2x =
2x * e`2x + x`2* e`2x

og videre derfra vet jeg ikke helt hva som skal gjøres, eller hvorfor de løser det som de gjør

[Markonan]

[tex]f(x) = x^2\cdot e^{2x} = u\cdot v[/tex]

[tex]f^{\tiny\prime}(x) = u^{\tiny\prime}v + uv^{\tiny\prime}[/tex]

Finner de deriverte:
[tex]u = x^2[/tex]

[tex]u^{\tiny\prime} = 2x[/tex]

v-funksjonen tror jeg ikke du deriverer riktig. Den deriveres med regelen jeg ga over, eller med kjerneregelen.
[tex]v = e^{2x}[/tex]

[tex]v^{\tiny\prime} = 2e^{2x}[/tex]

Setter inn i formelen:
[tex]\begin{align}f^{\tiny\prime}(x) &=u^{\tiny\prime}v + uv^{\tiny\prime}\\&= 2x\cdot e^{2x} + x^2\cdot 2e^{2x}\end{align}[/tex]

Her har du det de bruker i løsningsforslaget.

Kan forklare deg kjerneregelen for eksponentialfunksjonen om det er uklart.

[mela]

Takk for hjelpen så langt, men likevel står det igjen uklart for meg det neste leddet.

Å derivere å sette inn i formelen virker nå klart, men hvordan blir svaret
(2x^2 + 2x) e^2x ?

Jeg skjønner ikke det mellomleddet mellom svaret og etter at man har satt inn riktig tall i funksjonen

[Markonan]

Du har funnet riktig svar når du har satt inn funksjonene. Det eneste de gjør er å faktorisere ut e[sup]2x[/sup].

[tex]2x\cdot e^{2x} + 2x^2\cdot e^{2x} \;=\;\big(2x + 2x^2\big)e^{2x}[/tex]