Ekstremverdisetningen

[economist]

Kan noen - på en enkel måte - forklare meg hvordan jeg går frem for å løse oppgaver av typen under?

Ska finne maksimum til [tex]f(x,y)=3+x^3-x^2-y^2[/tex] over settet S={(x,y): [tex]x^2+y^2[/tex] <1, x>0}

[Vektormannen]

Funksjonen f er helt glatt (den har ingen bruddpunkter osv.) så et eventuelt maksimum må enten forekomme i et kritisk punkt (der de partiellderiverte er 0) eller et sted langs randen til funksjonen.

Du kan jo begynne med å finne kritiske punkter. Så må du huske å sjekke om disse befinner seg på S, og finne ut hvilke av dem som er topp-punkter. Du bør også regne ut funksjonsverdiene for å sammenligne hvilke av "kandidatene" som er størst til slutt.

Så må du sjekke randen av S. Der vil [tex]x^2 + y^2 = 1[/tex], så funksjonen din blir: [tex]f(x,y) = 3 + x^3 - (x^2 + y^2) = 3 + x^3 - 1 = 2 + x^3[/tex]. Da ser vi at verdien av f på randen av S kun vil avhenge av x. Da er det rimelig lett å se hva det største du kan få ut av f på randen er.

Da gjenstår det å sammenligne de potensielle punktene du har funnet og vurdere hva som er funksjonens maksimum.