fillosofisering om gradient vector

[gill]

Ofte blir det letter å løse problemer når man skjønner litt hvorfor ting er defienrt som de er. Derfor har jeg prøvd å komme fram til forklaring hvorfor gradient vector

[tex]\nabla f=\frac{\part f}{\part x}i + \frac{\part f}{\part y}j + \frac{\part f}{\part z}k[/tex]

gir retning for mest økning til funksjonen f(x,y,z)

Vel. Det jeg holder fast ved er. Hvis [tex] \frac{\part f}{\part z}[/tex] er stor vil det lønne seg å bevege sseg i k-retning siden det da vil øke verdien til f mye. Hvis en partiell derivert for eks

[tex]\frac{\part f}{\part x}[/tex] er negativ vil det ikke lønne seg å bevege seg i positiv retning men derimot negativ. Det jeg ikke helt skjønner tror jeg er hvorfor si at

[tex] \frac{\part f}{\part z}[/tex]

er stor mens den er tilstede men liten i andre retninger fo eks x hvorfor er det ikke lurest å bare bevege seg i z-retning for å få mest økning? Altså hvis

[tex]\frac{\part f}{\part x}[/tex]

er liten men tilstede hvorfor ikke bare bevege seg langs z-aksen da? Vil det ikke øke fortere da?

Blir det riktig å bevise dette d pytagoras:

hvis det er en stor ending i z-retning la oss si 10 en liten i x-retning 1 og 0 i y-retning

uten lille forandring i x blir det:
10 per enhet av vektor

med lille forandring blir det



[tex]\sqrt{10^2+1^2}[/tex]

som jo blir litt større. men det forutsetter at vektoren og blir lengre. Man har jo beveget seg

[tex]\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex] (det her ble feil ja, beveger seg ikke like mye langs x-akse fra gradientvektor hvis stignigstallet til x-retning er mindre enn stigningstall til z=10)

Si at man beveger seg [tex]\sqrt{2}[/tex] langs z-akse med stigningstall 10 da øker f med

[tex]\sqrt{2}10[/tex]

som jo er mer. Det er vel det jeg lurer på

[Vektormannen]

Hvis df/dx er til stede betyr det at hvis man i tillegg til å gå i z-retning også går litt i x-retning, vil man oppleve en større økning enn om man bare gikk i z-retning.

[gill]

ja men det jeg la til gjør at jeg ikke skjønner det.

[Vektormannen]

Jeg tror du blander noe her? Det er gradientvektoren i et punkt som peker i hvilken retning man får størst økning. Hvis man som du tenker begynner å gå i den retningen vil jo gradienten hele tiden forandre seg (med mindre det er en veldig enkel funksjon).

[gill]

ja si at forandring er 1 nanometer eller picometer da. Blir ikke det riktig da?

[Vektormannen]

Nei, hvorfor det? Men hvorfor blandet du inn at man skal bevege seg langs denne vektoren? Gradientvektoren i et punkt peker bare i den retningen stigningen i det punktet er størst.

[gill]

Jeg skjønner at jeg har tenkt feil. Man beveger seg jo mye mindre i x-retning fra gradientvektor hvis stigningstallet til x er mye mindre enn z sitt. Og beveger seg dermed mindre langs f i x enn z-retning

La oss si dette er picometer:

vi har gradietvektor med z=4 y=0 og x=3. Hvis vi beveger oss en picometer langs gradientvektor (jeg skriver ikke inn picometer kaller det bare 1) vil vi når vi har beveget oss en enhet langs gradient ved bare z-retning (det vil si vi ser bort fra x) ha gått 4 enheter langs z. Med srtigningstall 4 fra partielt derivert z. Derfor har f da økt med 16. Siden vi har beveget oss fire langs z-aksen (jeg antar enhet som sagt picometer eller noe veldig mye mindre for å tilpasse en hver funksjon) vil vi ha staget per enhet:

[tex]\frac{16}{4}=4[/tex]


så beveger vi oss en enhet langs en enhet av x og z. Da vil vi ha stignigstall 3 i x-retning og 4 i z-retning. Da har vi økt f med 3 ganger 3 fra tre enheter x og 4 ganger 4 fra 4 enheter langs z. Så må vi finne lengde tilbakelagt i f. Det blir pytagoras

[tex]\sqrt{4^2+3^2}=5[/tex]

så finner vi forandring i f delt på lengde tilbakelagt:

[tex]\frac{9+16}{5}=5[/tex] Så stigningstall i den retningen er 5

Da har jeg i hvert fall vist at det ikke er slik at det er best å følge den aksen som stiger mest per enhet for å øke mest som var det jeg lurte på da. Og at gradientdefinisjon ser ut ved dette eksemplet til å stemme.

Dette blir bare en approksimasjon men hvis vi ser at vi beveger oss i pikometer eller noe veldig mye mindre så vil stigningstallet for x forandre seg veldig lite hvis vi har beveget oss 4 enheter langs z-akse som den jo må for at vi skal kunne legge sammen forandringene i f. Og da kan det kanskje være en approksimasjon for dette eksempel

[Vektormannen]

Det kan være jeg misforsto hvordan du tenkte. Det du sier her ser hvertfall riktig ut for meg. Men for å se at gradienten alltid peker i brattest stigende retning trenger man strengt tatt ikke å bevege seg langs vektoren. Det vil jo være slik at lengden av gradienten vil være størst dersom alle komponentene er med.

[gill]

ja men ved lengre lengde på gradient vil man og ha beveget seg lengre langs f (det hadde noe å si for spørsmålet mitt tenkte jeg siden jeg ville vite om stigningstall langs en akse var større) Derfor må man dele forandring gitt ved gradient (som linearisering) ved dets lengde for å finne stigningstall. HVis jeg hadde sagt at derivert partielt med z for f gir stigningstall i z-retning a og partielt derivert i x-retning gir b ville forandring for f per veldig liten enhet langs z-aksen bli per enheter gått langs gradient vektoren (a) bli

[tex]\frac{a^2}{a}=a[/tex]

og hvis man beveger seg i retning av gradient vektoren som var b i x og a i z ha steget (når man antar små enheter og at det medfører at stigningstall med forandring a og b i henholdsvis z og x-retning ikke forandrer seg):

[tex]a^2+b^2[/tex] hvis man deler dette på lengden tilbakelagt blir det fra pytagoras:

[tex]\frac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

men å vise at dette blir større enn b og a det får jeg ikke til. (hvis noen får til det hadde det vært veldig morsomt, derfor jeg skriver det her) Tror det skulle bli riktig i hvert fall siden det som jeg lurte på var jo om man kunne vise at sitgningstall langs gradientvektor er større enn stigningstall langs akse som har størst stigningstall av de tre aksene (jeg har bare antat at stigningstall i y er 0)

[Vektormannen]

Lengden av gradienten har ikke noe med forflytning å gjøre. Lengden av gradientvektoren vil bare si hvor mye funksjonen forandrer seg i retningen gradientvektoren peker. Det er ikke slik at lengden sier hvor langt du har forflyttet deg.

EDIT: Men det er jo litt interessantd et du sier. Det du gjør er å se på lineariseringen til f i punktet, og tenker deg at man følger gradientvektoren og ser hvor høyt man har steget per enhet (?). Det er som du sier til slutt der at følgende vil gjelde:

[tex]\frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2} \geq a,b[/tex]

(Det vil alltid være større eller lik, siden verken [tex]a^2[/tex] eller [tex]b^2[/tex] kan bli negative)

Da tror jeg jeg er med på hva du mener!

[Vektormannen]

Burde kanskje postet redigeringen over i et eget innlegg så du ser at det er noe nytt her :p

[gill]

Ja skjønner fordi man ser på pytagoras og og hvis a eller b er et katet vil alltid

[tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex] være større enn a og b. Ja tok den:)