Den deriverte av fakultet

[MatteNoob]

Finnes det noen derivert av

[tex]f(x) = x![/tex]

I Geogebra er den sin egen derivert - stemmer dette?

[espen180]

Vel, hva betyr egentlig [tex]x![/tex] når [tex]x[/tex] ikke er et heltall? For å derivere en funksjon må den først og fremst være definert på et sammenhengende intervall.

EDIT: Hvis [tex]f(x)=x![/tex] kan utvides til å være definert for et sammenhengende intervall, vil det dog ikke stemme at den er sin egen derivert, fordi den den eneste løsningen til differensialligningen [tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}f(x)=f(x)[/tex] er [tex]f(x)=Ce^x[/tex]. Du kan slå opp et teorem som bekrefter at under passende omstendigheter vil en løsning av en differensialligning være unik. Dermed kan vi se ved å sette inn noen (heltalls)verdier for [tex]f(x)[/tex] at den ikke kan være lik [tex]e^x[/tex].

[Knuta]

Dersom man definerer x! som Gamma(x+1) så vil jeg tro det.

Jeg fikk som svar Gamma[1 + x] * PolyGamma[0, 1 + x] da jeg deriverte x!



Plot[{x!, Gamma[1 + x]*PolyGamma[0, 1 + x]}, {x, 0, 2.5}]