matematikk.net

Hei,

Noe jeg har lurt på i det siste. Gitt at man har en graf f(x), som er tegnet inn i et 2D grafsystem, og på en del punkter på grafen, så leser man enkelt med det blotte øyet at et heltall X gir et heltall Y.

Altså man ser f. eks. at f(3) = 9, f(9) = 5 og f(14) = 22.

Kan man finne ut hvilken funksjon f(x) er ved å lese av en graf på denne måten? Og finnes det en funksjon for absolutt alle kruseduller man kan tegne på en graf?

Er ikke kommet så langt i matematikken at jeg kan svare på dette selv, men har en nerdete obsession, og matte som hobby.

På forhånd takk for svar!

Aleks

Ja, dette kalles regresjon.

Regresjon finner den mest passende funksjonen til et sett med punkter. Hvis du har kalkulator med grafdisplay, så har den mest sannsynlig regresjonsmuligheter også.

Hvis du har engelsk bruksannvisning, så kalles dette regression.

F.eks. kunne du fyllt kaffe i en kopp, tatt temperaturen hvert 5 minutt inntil temperaturen stabiliserte seg til romtemperatur. Deretter kunne du plottet temperaturen som en funksjon av tiden.

altså at temperaturen er y-aksen, mens tiden er x-aksen. Dernest kunne du utført regresjon på punktene og funnet en modell som kunne anslå hvor mye temperaturen var f.eks. etter 2.35 minutter, 7.51 minutter og så videre.

PS: Ikke prøv dette med et vanlig kvikksølv termometer. Det gjorde jeg, og det eksploderte og endte med en kaffekopp full av kvikksølv, lol.

Haha

Ja jeg har fått en del oppgaver hvor høyden av et tre som funksjon av tid gis med en sjettegrads likning med tilsynelatende arbitrært utvalgte koeffisienter. Jeg har lenge lurt på hvordan de kommer frem til slike funksjoner, for det ville jo vært lett å lage grafen ved å måle.

Nå vet jeg i alle fall at det finnes slikt.

Mange takk for et godt utdypende svar

Finnes det forresten noen videoer med fremgangsmåte for regresjon? Ser at det ligger en del hakk over den matematikken jeg undervises i for tiden.

Så vanskelig er det ikke. Finnes mange forskjellige typer regresjon, og jeg mener at det finnes egne kurs som går godt inn i dybden. Slik som å lage svært avanserte funksjoner for å regne ut enkle ting.

En ting som man kan gjøre og som er artig er at vi tar utgangspunkt i polynomfunksjoner. Vi glemmer alt om irrasjonelle funksjoner, logaritmer og andre spesialfunksjoner.

La oss ta utgangspunkt i punktene du oppgav.

f(3) = 9, f(9) = 5 og f(14) = 22.

Når vi lager en polynomfunksjon, må graden være en lavere enn antall punkter. Her ser vi at Vi har tre punkter, og dermed kan vi lage en andregradsfunksjon som går gjennom alle punktene.

En andregradsfunksjon er på formen

f(x) = ax^2 + bx + c

Nå har vi tre ukjente, nemmlig a, b og c. Vi har også tre opplysninger/punkter. Dette gjør at vi har nok opplysninger til å finne dem.

Først vet vi at f(3) = 9. Så er det bare å plugge inn tallene over

9 = 9a + 3b + c

Så gjør vi det samme for de to andre punktene og

f(9) = 5

f(x) = ax^2 + bx + c

5 = 81a + 9 + c

Og siste

f(14) = 22

22 = 196a + 14b + c

Nå har vi tre likninger som vi kan løse med matriser (Gauselliminasjon) Eller metoder vi lærer på ungdomskolen og kanskje spesielt på vidergående. Likningene vi har er

9 = 9a + 3b + c

5 = 81a + 9 + c

22 = 196a + 14b + c

Litt komplisert å løse disse. Plotter disse raskt inn på wolfram alpha, siden det er sent.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=9+ ... +14b+%2B+c

Altså er verdiene våre litt stygge, men de fungerer.

a = -104/1353 , b = 3367/1353 , c = 1004/451

Dermed blir funksjonen vår

f(x) = -104/1353 x^2 + 3367/1353 x + 1004/451

Denne passerer gjennom de tre punktene våre. Dette kan vi teste ved å sette inn x-koordinatene eller tegne funksjonen som vist under.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %3D3+to+14

Det er mulig å klare å lage en funksjon bare ved å lese av verdier fra en graf, men det er tidkrevende.

http://www.khanacademy.org/video/quadra ... 20Examples

http://www.khanacademy.org/video/square ... Statistics

http://www.khanacademy.org/video/covari ... Statistics

Ny. De. Lig.

Men hva hvis man ser at punktene stemmer, men når man lager en polynomfunksjon, så ser den helt annerledes ut enn den grafen vi hadde til å begynne med? For en polynomfunksjon er vel gjenkjennelig i det at den går i "bølger" i mangel på bedre ord.

Er det like lett å se at "ok, her må vi frem med trig- og logaritmefunksjoner"?