parameterisering

[gill]

Jeg lurer på oppgave 4

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_02v.pdf

fasit

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_02v.pdf

Jeg tenkte at siden vi har en vektor som skriver om fra x y og z-koordinater til uv-planet så ville det være slik at når man tok høyde for omskrivningen ved å skrive om ved parallellogrammer gitt ved kryssproduktets lengde være tatt høyde for forskjellig areal i forhold til xyz-koordinatene. Og at når man hadde skrevet om så integrerte man over kartesiske koordinater siden omskrivningsfaktoren

[tex]\sqrt{1+u^2}[/tex] tok høyde for det. Men her integrerer de i u og v-planet etter at de har skrevet om til det. Trenger man å skrive om for å integrere i uv-planet? De finner jo til slutt virker det som bare arealet til en trekant. Eller hva finner de egentlig?

[Vektormannen]

Jeg tror kanskje du blander litt med spesialtilfellet der man har flaten gitt ved z = f(x,y). Da lar man x og y være parameterene, og så får man at [tex]dS = \left|\frac{d\vec{r}}{dx} \times \frac{d\vec{r}}{dy}\right| dx dy[/tex]. Men her er flaten gitt ved en parameterisering i u og v. Altså -- ikke bare z, men også x og y avhegner av to variable u og v. Helt generelt så er [tex]dS = \left|\frac{d\vec{r}}{du} \times \frac{d\vec{r}}{dv}\right| du dv[/tex], og den overnevnte formelen er altså et spesialtilfelle av denne når z avhenger av x og y, slik at vi kan la x og y være parametere. Da blir integrasjonsområdet det samme som projeksjonen av f ned i xy-planet. Når man har en parameterisert flate kan man ikke tenke slik.

Uttrykket [tex]\left|\frac{d\vec{r}}{du} \times \frac{d\vec{r}}{dv}\right|[/tex] gir som du sier hvor mye større et flateelement er på flaten enn det tilsvarende flateelementet i uv-planet. Så hvis vi ganger med dette betyr det at vi kan integrere over definisjonsmengden D i uv-planet, og så vil det integralet vi finner være lik arealet til flaten.