matematikk.net

Jeg lurer på oppgave 4

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_02v.pdf

fasit

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_02v.pdf

Jeg tenkte at siden vi har en vektor som skriver om fra x y og z-koordinater til uv-planet så ville det være slik at når man tok høyde for omskrivningen ved å skrive om ved parallellogrammer gitt ved kryssproduktets lengde være tatt høyde for forskjellig areal i forhold til xyz-koordinatene. Og at når man hadde skrevet om så integrerte man over kartesiske koordinater siden omskrivningsfaktoren

[tex]\sqrt{1+u^2}[/tex] tok høyde for det. Men her integrerer de i u og v-planet etter at de har skrevet om til det. Trenger man å skrive om for å integrere i uv-planet? De finner jo til slutt virker det som bare arealet til en trekant. Eller hva finner de egentlig?

Jeg tror kanskje du blander litt med spesialtilfellet der man har flaten gitt ved z = f(x,y). Da lar man x og y være parameterene, og så får man at [tex]dS = \left|\frac{d\vec{r}}{dx} \times \frac{d\vec{r}}{dy}\right| dx dy[/tex]. Men her er flaten gitt ved en parameterisering i u og v. Altså -- ikke bare z, men også x og y avhegner av to variable u og v. Helt generelt så er [tex]dS = \left|\frac{d\vec{r}}{du} \times \frac{d\vec{r}}{dv}\right| du dv[/tex], og den overnevnte formelen er altså et spesialtilfelle av denne når z avhenger av x og y, slik at vi kan la x og y være parametere. Da blir integrasjonsområdet det samme som projeksjonen av f ned i xy-planet. Når man har en parameterisert flate kan man ikke tenke slik.

Uttrykket [tex]\left|\frac{d\vec{r}}{du} \times \frac{d\vec{r}}{dv}\right|[/tex] gir som du sier hvor mye større et flateelement er på flaten enn det tilsvarende flateelementet i uv-planet. Så hvis vi ganger med dette betyr det at vi kan integrere over definisjonsmengden D i uv-planet, og så vil det integralet vi finner være lik arealet til flaten.