matematikk.net

Hei.

Jeg bare har et kort spørsmål relatert til et av bevisene for Cauchy Schwartz ulikheten.

Man har altså i det euklidiske rommet [tex]\mathbb R^{n}[/tex]at:

[tex]\left(\sum_{i=}^{n} x_i y_i \right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} x^{2}_i \right) \left(\sum_{i=1}^{n} y^{2}_i \right)[/tex]

Et av bevisene som nevnes under overskriften "Notable Special Cases" på:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2% ... inequality

Og som også nevnes i Rudins bok begynner med at man ser på:

[tex]\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}(x_i y_j - x_j y_i)^{2}[/tex]

Ved å multiplisere dette ut finner man så at ulikheten oppfylles. Jeg er med på selve utregningen etter at man har satt opp [tex]\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}(x_i y_j - x_j y_i)^{2}[/tex], men hva er det som gjør at man i det hele tatt begynner beviset med dette uttrykket? Hvordan kan man, ut fra uttrykket for ulikheten, sette opp dette som startpunkt for beviset? Jeg ser ikke overgangen her, så setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg.

Du burde vel starte med en ulikhet du vet er sann og se om Cauchy-Schwartz følger fra den. Uten å vite noe om x-ene og y-ene, kan du si noe om verdien til summen?

espen180 wrote:Du burde vel starte med en ulikhet du vet er sann og se om Cauchy-Schwartz følger fra den. Uten å vite noe om x-ene og y-ene, kan du si noe om verdien til summen?

Tenker du på triangulær ulikheten? Den kjenner jeg jo godt til. Men jeg ser ikke hvordan man går fra Cauchy-Schwartz ulikheten til det uttrykket man utleder beviset fra.

Man tar jo utgangspunkt i den ulikheten fordi den åpenbart er sann for reelle tall, og på en enkel måte leder til Cauchy Schwarz.

Å finne beviser er jo på ingen måte noen "lineær prosess", og dersom du lurer på hvordan man kan se direkte at det er lurt å begynne med akkurat den ulikheten, er vel svaret at det har å gjøre med enten erfaring, intuisjon, tilfeldigheter, prøving og feiling eller at man prøver å omskrive CS ulikheten helt til man oppnår noe som åpenbart er riktig.

OK. Takk. Jeg skal se nærmere på det.

Du begynner med å sette den summen du skal bruke for å bevise ulikheten større enn 0. Deretter omformer du ulikheten du står med til cauchy-ulikheten.

Når er det likhet?

Hei.

Jeg har funnet andre sider på nettet som forklarer ulikheten godt. Har derfor kontroll nå