Inverse funksjoner

[mialampe]

Hei, trenger hjelp med en oppgave jeg - sitter litt fast!

a) Funksjonen f(t) er kontinuerlig og tilfredsstiller f(t)>0 for alle t>=0. Funksjonen g(x) er definert ved

g(x)=integralet mellom 0 og x til f(t) dt, for x>=0.

Begrunn at g(x) må ha en invers funksjon g-1(y).

b) La f(t) = r^(-rt), der r>0 er en konstant. Beregn den inverse funksjonen g-1(y) fra oppgave a.

Tusen takk for eventuell hjelp!

[fish]

a) Vi har dersom [tex]b>a\geq 0[/tex] at

[tex]g(b)-g(a)=\int_a^bf(t)dt>0[/tex]

siden [tex]f(t)>0[/tex] for [tex]t\geq 0[/tex],

noe som viser at [tex]g[/tex] er voksende for [tex]x\geq 0[/tex] og derfor har en invers.

b) Her kan man vel rett og slett finne [tex]g(x)[/tex] ved å integrere eksponensialfunksjonen og deretter finne den inverse på vanlig måte.

[mialampe]

Hva representerer a og b?

[fish]

[tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] representerer reelle ikke-negative tall, der altså [tex]a<b[/tex]. Når man så har vist at [tex]g(a)<g(b)[/tex], må derfor [tex]g[/tex] være voksende.