Har fått i oppgave å bevise at alle andregradspolynomer i formen [tex]f(x)=ax^2 + b[/tex], for konstanter [tex] a,b \in \mathbb{R}[/tex] ved hjelp av epsilon-delta definisjonen på grenser.
Prøvde meg da først sånn her:
[tex]|f(x)-f(x_o)|=|ax^2 + b - (a(x_o)^2 + b)| < {\epsilon}[/tex]
Når:
[tex]|x-x_o| < \delta
[/tex]
Får da:
[tex]|a||x-x_o||x+x_o| < \epsilon[/tex]
[tex]|x-x_o|<\frac{\epsilon }{a|x+x_o|} [/tex]
[tex] \delta = \frac{\epsilon }{a|x+x_o|}[/tex]
Dermed: [tex]|f(x)-f(x_o)| < \delta \cdot(|a||x+x_o|) = \epsilon [/tex]
Dette førte altså ikke frem.
Deretter observerte jeg at Siden [tex] |x-x_o|<\delta[/tex] Så må [tex]x<x_o + \delta[/tex]
[tex]|a||x^2 - (x_o)^2| < |a||(x_o + \delta)^2 - (x_o)^2| = |a||\delta^2 + 2(x_o)\delta| < \epsilon[/tex]
Hvor jeg da får [tex]|a||\delta^2 + 2(x_o)\delta| < \epsilon[/tex] og kan gjøre delta vilkårlig liten, slik at ulikheten holder. Var allikevel veldig usikker på om dette var tilstrekkelig, så spurte foreleser om det i dag.
Da ble jeg fortalt av foreleser at han var usikker på om argumentasjonen her: [tex] x<x_o + \delta \Rightarrow|a||x^2 - (x_o)^2| < |a||(x_o + \delta)^2 - (x_o)^2|<\epsilon[/tex] var gyldig.
Har jeg tenkt feil da? Han sa også at jeg ikke hadde noe uttrykk for delta, slik at jeg ikke kan si at "delta kan bli vilkårlig liten slik at ulikheten holder". Så for å fullføre beviset må jeg da lage et uttrykk for delta uttrykt ved epsilon. Noen tips om hvordan jeg kan gjøre det? Eventuelt en annen (riktig?) måte å gå frem på?
Elementært epsilon-delta bevis
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg ville gjort som følger:
Når du har:
[tex]|a||x-x_0||x+x_0|[/tex]
La [tex]\delta < 1[/tex]. Da få vi at:
[tex]|x-x_0|<1[/tex]
[tex]-1 < x - x_0 < 1[/tex]
[tex]-1 + 2x_0 < x + x_0 < 1 + 2x_0[/tex]
[tex]a(-1 + 2x_0) < a(x + x_0) < a(1 + 2x_0)[/tex]
La så [tex]\delta = min\{1, \frac{\epsilon}{a(1+2x_0)}\}[/tex]
Tar du det videre herfra?
Når du har:
[tex]|a||x-x_0||x+x_0|[/tex]
La [tex]\delta < 1[/tex]. Da få vi at:
[tex]|x-x_0|<1[/tex]
[tex]-1 < x - x_0 < 1[/tex]
[tex]-1 + 2x_0 < x + x_0 < 1 + 2x_0[/tex]
[tex]a(-1 + 2x_0) < a(x + x_0) < a(1 + 2x_0)[/tex]
La så [tex]\delta = min\{1, \frac{\epsilon}{a(1+2x_0)}\}[/tex]
Tar du det videre herfra?
Er ikke helt sikker på om jeg skjønner hva det er du gjør der i det hele tatt. Tar kurset MA0001 (det som egentlig er for folk uten 3MX eller R2) på NTNU med læreboka Calculus for Biology and Medicine, og der har liksom alle epsilon-delta oppgavene vært ganske greie, men sitter fast her (oppgaven er ikke hentet fra læreboka, fordi foreleser valgte å ta dette stoffet på en annen måte, så mye hjelp er ikke å finne i boka).
Si vidt jeg ser sier du noe om faktorene i uttrykket [tex]|f(x)-f(x_o)|[/tex], men ser ikke helt hvor du bruker det for å danne et utrykk for delta. min{} osv antar jeg at betyr at du velger den minste av de to verdiene, men vet ikke helt hvordan du bruker det heller. Blir litt tullerusk av dette.
Si vidt jeg ser sier du noe om faktorene i uttrykket [tex]|f(x)-f(x_o)|[/tex], men ser ikke helt hvor du bruker det for å danne et utrykk for delta. min{} osv antar jeg at betyr at du velger den minste av de to verdiene, men vet ikke helt hvordan du bruker det heller. Blir litt tullerusk av dette.
OK.
Vi har altså:
[tex]|a||x-x_0||x+x_0| < \epsilon[/tex].
Basert på min utregning (hvor jeg nok kanskje burde ha beholdt absolutt-verdi tegnene) har vi dermed at:
[tex]|a||x-x_0||x+x_0| < |a||1 + 2x_0||x-x_0|[/tex].
Ettersom vi har at [tex]\delta = min \{1, \frac{\epsilon}{|a||1 + 2x_0|}\}[/tex] får vi dermed:
[tex]|a||x-x_0||x+x_0| < |a||1 + 2x_0||x-x_0| < |a||1 + 2x_0||\frac{\epsilon}{|a||1+2x_0|}| = \epsilon[/tex].
Dermed har vi bevist grenseverdien.
Gi beskjed dersom det er noe her du ikke forstår. Da skal jeg prøve å gå litt roligere gjennom det.
Vi har altså:
[tex]|a||x-x_0||x+x_0| < \epsilon[/tex].
Basert på min utregning (hvor jeg nok kanskje burde ha beholdt absolutt-verdi tegnene) har vi dermed at:
[tex]|a||x-x_0||x+x_0| < |a||1 + 2x_0||x-x_0|[/tex].
Ettersom vi har at [tex]\delta = min \{1, \frac{\epsilon}{|a||1 + 2x_0|}\}[/tex] får vi dermed:
[tex]|a||x-x_0||x+x_0| < |a||1 + 2x_0||x-x_0| < |a||1 + 2x_0||\frac{\epsilon}{|a||1+2x_0|}| = \epsilon[/tex].
Dermed har vi bevist grenseverdien.
Gi beskjed dersom det er noe her du ikke forstår. Da skal jeg prøve å gå litt roligere gjennom det.
Tror jeg skjønner det, men hvorfor sier du [tex]\delta = min \{1, \frac{\epsilon}{|a||1 + 2x_0|}\}[/tex]? Holder det ikke å si [tex]\delta = \frac{\epsilon}{|a||1 + 2x_0|}\}[/tex]? Eventuelt, hvorfor ikke?
Det du gjør her:
[tex]a(-1 + 2x_0) < a(x + x_0) < a(1 + 2x_0)[/tex] minner jo en del om det jeg prøvde meg på ([tex] x<x_o + \delta \Rightarrow|a||x^2 - (x_o)^2| < |a||(x_o + \delta)^2 - (x_o)^2|<\epsilon[/tex]). Hva er grunnen til at det du gjør stemmer, mens det jeg gjør muligens ikke gjør det?
Tusen takk uansett
Det du gjør her:
[tex]a(-1 + 2x_0) < a(x + x_0) < a(1 + 2x_0)[/tex] minner jo en del om det jeg prøvde meg på ([tex] x<x_o + \delta \Rightarrow|a||x^2 - (x_o)^2| < |a||(x_o + \delta)^2 - (x_o)^2|<\epsilon[/tex]). Hva er grunnen til at det du gjør stemmer, mens det jeg gjør muligens ikke gjør det?
Tusen takk uansett
Litt forvirret over hva du gjør der også egentlig. Skjønner jo at du fjerner absoluttverditegnet, og skjønner ulikhetsregningen, men skjønner ikke helt hvordan du slutter fra de ulikhetene der, uten absoluttverditegn, til det uttrykket for delta.krje1980 wrote:
[tex]-1 < x - x_0 < 1[/tex]
[tex]-1 + 2x_0 < x + x_0 < 1 + 2x_0[/tex]
[tex]a(-1 + 2x_0) < a(x + x_0) < a(1 + 2x_0)[/tex]
La så [tex]\delta = min\{1, \frac{\epsilon}{a(1+2x_0)}\}[/tex]
Men...Okay.
[tex]|a||x-x_0||x+x_0|<|a||x-x_o||1+2x_0|[/tex]
Så hvis [tex]|a||x-x_o||1+2x_0|<\epsilon[/tex]
Så må [tex]|x-x_o|<\frac{\epsilon}{|a||1+2x_0|}[/tex]
[tex]\delta = \frac{\epsilon}{|a||1+2x_0|}[/tex]
Dermed: [tex] |f(x)-f(x_0)| < \delta \cdot |a||1+2x_0| = \epsilon [/tex]
Det holder vel, gjør det ikke?
Eller er greia at når du bruker antagelsen om at epsilon er mindre enn 1, så må min(1, det store uttrykket) tas med?
http://www.youtube.com/watch?v=wpTWiu9AoZo
Så denne videoen her, og da forklarte han den minimumgreia du gjorde. Står ingenting om det i boka mi, og har heller ikke blitt forklart i forelesning.
[tex]|a||x-x_0||x+x_0|<|a||x-x_o||1+2x_0|[/tex]
Så hvis [tex]|a||x-x_o||1+2x_0|<\epsilon[/tex]
Så må [tex]|x-x_o|<\frac{\epsilon}{|a||1+2x_0|}[/tex]
[tex]\delta = \frac{\epsilon}{|a||1+2x_0|}[/tex]
Dermed: [tex] |f(x)-f(x_0)| < \delta \cdot |a||1+2x_0| = \epsilon [/tex]
Det holder vel, gjør det ikke?
Eller er greia at når du bruker antagelsen om at epsilon er mindre enn 1, så må min(1, det store uttrykket) tas med?
http://www.youtube.com/watch?v=wpTWiu9AoZo
Så denne videoen her, og da forklarte han den minimumgreia du gjorde. Står ingenting om det i boka mi, og har heller ikke blitt forklart i forelesning.
Hei.
Som nevnt over, så skulle jeg nok ha beholdt absoluttverdiene gjennom hele utregningen, slik at jeg kan fortsette bevisføringen slik som jeg gjorde i min siste post.
Valg av verdier for [tex]\delta[/tex] er noe man gjerne velger først når man ser hva som er hensiktsmessig å velge for at man skal ende opp med at uttrykket blir mindre enn [tex]\epsilon[/tex]. I og med at jeg har løst denne typen bevis ganske ofte ser jeg ganske tidlig hva som er ønsker forhold mellom delta og epsilon, men i begynnelsen kan det være lurt å vente til slutten med å se hva du bør velge. Når du setter opp det endelige beviset bør imidlertid valget for delta spesifiseres på det punktet i beviset hvor jeg har inkludert det.
Når vi har uttrykket [tex]|a||x + 2x_0||x-x_0|[/tex], så ser vi at ved å sette [tex]|x - x_0| < \delta =\frac{\epsilon}{|a||x + 2x_0|}[/tex] så vil vi da ende opp med at [tex]|a||x + 2x_0||x-x_0| < |a||x + 2x_0|\frac{\epsilon}{|a||x + 2x_0|} = \epsilon[/tex].
Årsaken til at vi må velge [tex]\delta = min\{1, \frac{\epsilon}{|a||x + 2x_0|}\}[/tex] er at vi tidlig i bevisføringen antok at [tex]\delta < 1[/tex] og det er basert på dette at vi fikk det endelige uttrykket som vi kan bruke for å oppnå resultatet. Ved å ta minimumverdien av disse to er vi garantert at alle ulikhetene vi har jobbet med oppfylles.
Dersom du vil ha en veldig god og intuitiv forklaring på epsilon-delta, så foreslår jeg at du ser gjennom videoene som omhandler dette på Khan Academy.
Som nevnt over, så skulle jeg nok ha beholdt absoluttverdiene gjennom hele utregningen, slik at jeg kan fortsette bevisføringen slik som jeg gjorde i min siste post.
Valg av verdier for [tex]\delta[/tex] er noe man gjerne velger først når man ser hva som er hensiktsmessig å velge for at man skal ende opp med at uttrykket blir mindre enn [tex]\epsilon[/tex]. I og med at jeg har løst denne typen bevis ganske ofte ser jeg ganske tidlig hva som er ønsker forhold mellom delta og epsilon, men i begynnelsen kan det være lurt å vente til slutten med å se hva du bør velge. Når du setter opp det endelige beviset bør imidlertid valget for delta spesifiseres på det punktet i beviset hvor jeg har inkludert det.
Når vi har uttrykket [tex]|a||x + 2x_0||x-x_0|[/tex], så ser vi at ved å sette [tex]|x - x_0| < \delta =\frac{\epsilon}{|a||x + 2x_0|}[/tex] så vil vi da ende opp med at [tex]|a||x + 2x_0||x-x_0| < |a||x + 2x_0|\frac{\epsilon}{|a||x + 2x_0|} = \epsilon[/tex].
Årsaken til at vi må velge [tex]\delta = min\{1, \frac{\epsilon}{|a||x + 2x_0|}\}[/tex] er at vi tidlig i bevisføringen antok at [tex]\delta < 1[/tex] og det er basert på dette at vi fikk det endelige uttrykket som vi kan bruke for å oppnå resultatet. Ved å ta minimumverdien av disse to er vi garantert at alle ulikhetene vi har jobbet med oppfylles.
Dersom du vil ha en veldig god og intuitiv forklaring på epsilon-delta, så foreslår jeg at du ser gjennom videoene som omhandler dette på Khan Academy.
Dette ser veldig bra ut ja. Og det er helt riktig det du skriver om minimum (bortsett fra at det er delta jeg antar er mindre enn 1, og ikke epsilon - sikkert bare en skrivefeil fra din sideElgstuing wrote:Men...Okay.
[tex]|a||x-x_0||x+x_0|<|a||x-x_o||1+2x_0|[/tex]
Så hvis [tex]|a||x-x_o||1+2x_0|<\epsilon[/tex]
Så må [tex]|x-x_o|<\frac{\epsilon}{|a||1+2x_0|}[/tex]
[tex]\delta = \frac{\epsilon}{|a||1+2x_0|}[/tex]
Dermed: [tex] |f(x)-f(x_0)| < \delta \cdot |a||1+2x_0| = \epsilon [/tex]
Det holder vel, gjør det ikke?
Eller er greia at når du bruker antagelsen om at epsilon er mindre enn 1, så må min(1, det store uttrykket) tas med?
http://www.youtube.com/watch?v=wpTWiu9AoZo
Så denne videoen her, og da forklarte han den minimumgreia du gjorde. Står ingenting om det i boka mi, og har heller ikke blitt forklart i forelesning.
).Det finnes egentlig flere måter å løse epsilon-delta på. Selv fortrekker jeg overnevnte metode for grenseverdier av denne typen, men dersom du f.eks. jobber med komplekse grenseverdier må du som regel bruke triangulærulikheten i stedet.
Flott . Kan forresten også anbefale denne siden for en veldig god og pedagogisk innføring i epsilon-delta:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... Limit.aspx
Det var faktisk via denne siden jeg virkelig så lyset når det gjaldt denne typen beviser for et par år siden.
. Kan forresten også anbefale denne siden for en veldig god og pedagogisk innføring i epsilon-delta:http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... Limit.aspx
Det var faktisk via denne siden jeg virkelig så lyset når det gjaldt denne typen beviser for et par år siden.
Skal se på det der i morgen, men nå må jeg få litt søvn. For øvrig så er greiene om epsilon-delta bare et lite tillegg til kapitelet om grenser i boka vår, hvor resten bare bruker regneregler og sånn. Foreleseren som tok over emnet i år hadde ikke sansen for det, så da er fokuset på epsilon-delta. Har egentlig litt forståelse for at han mener det, for boka er ganske dårlig. Er allikevel ganske krevende å gjøre en oppgave av typen jeg gjorde her, når jeg bare delvis har fått verktøyene til å løse det. Men jaja, gikk fint til slutt. 
Hei igjen.
Funderte litt til på denne oppgaven i går kveld, og kom frem til at det kanskje er en liten ting jeg har oversett.
Når vi har uttrykket:
[tex]a(-1 + 2x_0) < a(x + x_0) < a(1 + 2x_0)[/tex]
så må vi være sikker på at denne ulikheten forblir som den her også når vi tar absoluttverdien av alle leddene:
[tex]|a(-1 + 2x_0)| < |a(x + x_0)| < |a(1 + 2x_0)|[/tex]
Vi kan imidlertid ikke vite med sikkerhet at dette er tilfellet ettersom [tex]x_0[/tex] og [tex]a[/tex] jo er ukjente faktorer.
Det jeg dermed ville gjort, i stedet for å starte med å anta at [tex]\delta < 1[/tex] (som jo er et helt vilkårlig valgt tall for delta), så kan det nok være lurere å begynne med:
La [tex]\delta < K[/tex] hvor [tex]K > 0[/tex] og [tex]a(2x_0 - K) > 0[/tex]. Da får vi nemlig:
[tex]-K < x - x_0 < K[/tex]
[tex]-K + 2x_0 < x + x_0 < K + 2x_0[/tex]
[tex]a(-K + 2x_0) < a(x + x_0) < a(K + 2x_0)[/tex]
Nå har vi forsikret oss om at denne ulikheten vil holdes også når man tar absoluttverdien av leddene ettersom alle leddene over nå er positive.
Sett så [tex]\delta = min\{K, \frac{\epsilon}{|a||K + 2x_0|}\}[/tex] og løs i vei som over.
Beklager at jeg ikke tenkte over dette i går. Men det var sent på kvelden. Egentlig så gjør vi jo her akkurat det samme i går, bare at vi bruker konstanten [tex]K[/tex] i stedet for [tex]1[/tex], og vi definerer [tex]K[/tex] slik at vi er sikker på at ulikheten oppfylles hele veien - også når vi tar absoluttverdiene.
Funderte litt til på denne oppgaven i går kveld, og kom frem til at det kanskje er en liten ting jeg har oversett.
Når vi har uttrykket:
[tex]a(-1 + 2x_0) < a(x + x_0) < a(1 + 2x_0)[/tex]
så må vi være sikker på at denne ulikheten forblir som den her også når vi tar absoluttverdien av alle leddene:
[tex]|a(-1 + 2x_0)| < |a(x + x_0)| < |a(1 + 2x_0)|[/tex]
Vi kan imidlertid ikke vite med sikkerhet at dette er tilfellet ettersom [tex]x_0[/tex] og [tex]a[/tex] jo er ukjente faktorer.
Det jeg dermed ville gjort, i stedet for å starte med å anta at [tex]\delta < 1[/tex] (som jo er et helt vilkårlig valgt tall for delta), så kan det nok være lurere å begynne med:
La [tex]\delta < K[/tex] hvor [tex]K > 0[/tex] og [tex]a(2x_0 - K) > 0[/tex]. Da får vi nemlig:
[tex]-K < x - x_0 < K[/tex]
[tex]-K + 2x_0 < x + x_0 < K + 2x_0[/tex]
[tex]a(-K + 2x_0) < a(x + x_0) < a(K + 2x_0)[/tex]
Nå har vi forsikret oss om at denne ulikheten vil holdes også når man tar absoluttverdien av leddene ettersom alle leddene over nå er positive.
Sett så [tex]\delta = min\{K, \frac{\epsilon}{|a||K + 2x_0|}\}[/tex] og løs i vei som over.
Beklager at jeg ikke tenkte over dette i går. Men det var sent på kvelden
. Egentlig så gjør vi jo her akkurat det samme i går, bare at vi bruker konstanten [tex]K[/tex] i stedet for [tex]1[/tex], og vi definerer [tex]K[/tex] slik at vi er sikker på at ulikheten oppfylles hele veien - også når vi tar absoluttverdiene.