cauchy mean value theorem

[gill]

Jeg lurer på beviset for caucys mean value theorem her

http://bildr.no/view/953799

http://bildr.no/view/953800

det jeg lurer på da skulle ikke være mean value theorem i seg selv men hvorfor de kan bruke funksjonen



[tex]F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)][/tex]

i beviset for caucys mean value theorem

Altså de får den til å bli det de skulle vise men de kan vel ikke bare starte med en vilkårlig funksjon som passer med litt omarrangering for å få det de skulle vise. Det går jo opp uansett. Eller er jeg helt på viddene nå?

[svinepels]

Så langt som jeg kan se, antar vi ikke noe som helst om egenskapene til disse to funksjonene, bortsett fra betingelsene i teoremet. F er bare en hjelpefunksjon som vi bruker sekantsetningen på, for så å trekke konklusjonen.

[gill]

http://bildr.no/view/953799

http://bildr.no/view/953800

http://bildr.no/view/999144

Her har jeg lagt til siste del av beviset. Det jeg ikke skjønner er hvordan den første delen som jeg spurte om

[tex]F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)][/tex]

bare kan bruke stil å definere noe når den som forutsetning har at F(a)=F(b)=0

Og hvorfor er f(a)=f(b)=0 i den siste delen jeg la til?

[Vektormannen]

Hvorfor mener du det er forutsatt at F(a) = F(b) = 0? Sett inn a og b for x i F så ser du at dette følger helt og holdent av det som er antatt at gjelder for f og g! Som svinepels sier er ikke dette noe annet enn en hjelpefunksjon som gjør oss i stand til å benytte sekantsetningen på en enkel og grei måte.

Når det gjelder det andre du spør om så står det at f(a) = g(a) = 0, ikke f(a) = f(b)), hvis det forklarer noe.

[gill]

men jeg spør bare sikkert dumt. Det er jo den funksjonen som gjør at beviset går opp. Vil ikke da beviset bare gjelde for denne funksjonen?

Og står det noe sted at den funksjonen de tar utgangspunkt i er parameterisert slik at y=g(x) og x=f(x)

[Vektormannen]

Beviset gjelder for alle funksjoner f og g som passer med antagelsene i teoremet. Det er ikke funksjonen F det skal bevises noe om! Poenget er at når F defineres slik den gjør så får vi at F(a) = F(b) = 0 (dette er en viktig del av poenget med denne funksjonen! Man kunne kanskje funnet seg en annen måte å definere F på. Det vi ønsker er først og fremst at den er 0 i endepunktene på intervallet.) Da kan vi nemlig fra sekantsetningen slutte at den deriverte av F må være 0 i et punkt på (a,b). Det er ikke dette i seg selv som er viktig, det som er viktig er hvilke implikasjoner dette får for funksjonene f og g som inngår i F sin definisjon. Når F'(c) = 0 så fører det til at [tex]\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[/tex].

[gill]

men la oss si at F hadde vært den samme fumksjonen bare ganget med 2. Da hadde jo L'hopitals vært og ganget med 2. Blir ikke det litt rart?

Nei tror jeg trenger personal tutor for det her.....rett og slett

[Vektormannen]

Hva mener du med L'hopitals ganget med 2? (Beviset dreier seg jo ikke om L'hopitals heller?) Hvis F er samme funksjon ganget med 2 så får du fortsatt at F(a) = F(b) = 0, så det vil fortsatt måtte eksistere et punkt c i (a,b) der F'(c) = 0. Det gir at [tex]2\left(f^\prime(c) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot [g^\prime(c)]\right) = 0[/tex]. Vi kan dele denne ligningen på 2, og da oppnår vi akkurat samme resultat.

Jeg har litt vansker med å se hva du syns er 'ulogisk' i beviset. Det virker som du mener at det er galt å definere en slik funksjon F. Tenk på et litt enklere problem. La oss si at du skal finne punktene x der en funksjon f(x) = x-2. Er du med på at vi da kan definere funksjonen F(x) = f(x) - x + 2 og så lete etter nullpunktene til denne funksjonen (noe som i noen tilfeller kan være enklere)? Ser du at hver gang F er 0 så må f(x) = x - 2?

[gill]

Ok! trikset er å få funksjonen til å bli 0. Når man har fått til det har man skrevet den om. Det er det samme som å ha verdien av 20 appelsiner i en valuta og legge til penger i en annen valuta og se når man har like mye i verdi i denne valutaen og så bruke de istedenfor siden de gir samme verdi for alle definerte verdier. Ok den satt for meg. Takker og bukker vektormannen.


Da er det bare slik at jeg lurer på hvorfor g(a)=f(a)=0


Her forklarer de hvorfor f(a)=g(a)=0 uten at jeg klarer å følge med
http://math.chapman.edu/~jipsen/mathpos ... 20Rule.pdf

men vi har jo en funksjon i utgangspunktet et uttrykk med 0 over 0 så det er kanskje noe med det? Dette er vel mer grenseverdiproblematikk. Når x=a er grenseverdien 0 over 0 skriv om grenseverdien ved å finne uttrykk for f over g for alle verdier rundt x=a

[Vektormannen]

Jeg har vansker med å se hvordan de bare kan anta at f(a) = g(a) = 0 i det beviset der. L'Hopitals regel forutsetter ikke noe annet for f og g enn at grensene er 0 når x nærmer seg a. Funksjonene trenger ikke å være lik 0 eller eksistere i det hele tatt i x = a. Det vil riktignok ikke ha noe å si for beviset hva f(a) er og g(a) er, men i mine øyne blir det litt rart å anta de er 0.

Det man derimot kan gjøre er å definere en ny funksjon F(x) som er definert som F(x) = f(x) når x er forskjellig fra a, og F(x) = 0 når x = a. På samme måte kan man definere G(x). Da vil F(a) = G(a) = 0 og Cauchys middelverditeorem vil da føre til det ønskede resultatet. Det er slik det i alle fall er gjort i min bok.

(Her kan kanskje plutarco eller noen andre utdype?)

[Gustav]

Det man derimot kan gjøre er å definere en ny funksjon F(x) som er definert som F(x) = f(x) når x er forskjellig fra a, og F(x) = 0 når x = a.

Ja, det er nok riktig at man redefinerer f og g i punktet a slik at f(a)=g(a)=0 og f og g blir kontinuerlige i a. Dette går jo bra siden det ikke endrer hverken funksjonene eller de deriverte på intervallet (a,b], og heller ikke grensene.

[gill]

ok for disse funksjonene vil f over g i a være 0 over 0 men den trenger ikke være det fra definisjonen av L'hopitals, den må bare gå mot 0 over 0. Akkurat som man definerer grenseverdier for alle punkter lså nærme som mulig et punkt men ikke nødvendigvis i punktet? Disse eksemplene (eksemplene c og d) derimot er 0 over 0 i a:



http://bildr.no/view/1001173