Epsilon-delta-bevis

[svinepels]

Morn, jeg lurer på hvordan jeg kan komme med et epsilon-delta-argument for at følgende grense ikke eksisterer:

[tex]\lim_{x \to 0}\left( 2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \right)[/tex]

(eller en annen type bevis)

[Gustav]

Det eneste du trenger å vise er jo at [tex]\lim_{x\to 0}\cos(\frac{1}{x})[/tex] ikke eksisterer.

Hint:

Bevis ved motsigelse.

Anta at grensa eksisterer slik at

[tex]\lim_{x\to 0}\cos(\frac{1}{x})=a[/tex]

[svinepels]

Det er jo ikke generelt sant at dersom [tex]\lim_{x \to a}f(x)[/tex] ikke eksisterer, så eksisterer heller ikke [tex]\lim_{x \to a}\left(f(x)+g(x)\right)[/tex].

Ta for eksempel [tex]\lim_{x \to \infty} \left((\sin x)^2 + (\cos x)^2 \right) = 1 \neq \lim_{x \to \infty} (\sin x)^2 + \lim_{x \to \infty} (\cos x)^2[/tex]

Så jeg ser ikke helt grunnlaget for å redusere problemet til [tex]\lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}[/tex] bare fordi [tex]\lim_{x \to 0}2x \sin \frac{1}{x} = 0[/tex].

[Gustav]

OK, var litt for kjapp der antagelig. Begynner å bli trøtt

[Vektormannen]

EDIT: Eksempelet ditt dreier seg ikke om den problemstillingen vi har med å gjøre her. Dersom [tex]\lim_{x \to 0} f(x)[/tex] eksisterer mens [tex]\lim_{x \to 0} g(x)[/tex] ikke eksisterer, så kan vi konkludere med at [tex]\lim_{x \to 0} (f(x) + g(x))[/tex] ikke eksisterer. (Men dersom grensene av begge funksjonene ikke eksisterer, som er tilfelle i eksmepelet ditt, så kan vi ikke avgjøre noe om grenseverdien av summen. I ditt tilfelle eksisterte den.) Som plutarco foreslo blir det altså nok å argumentere for at grensen av cos(1/x)-leddet ikke eksisterer.


(Det gamle innlegget mitt, som kanskje kan være av interesse selv om det i grunn ikke er nødvendig hvis du bruker det ovenfor:

Det ser forresten ut som dette kommer fra en av øvingsoppgavene i Analyse 1, stemmer det? I såfall er det under mer argumentasjon enn det som er nødvendig! Men for å svare på det du spør om så kan jeg forsøke å gi et slags bevis. (Men ta det med en klype salt...)

Et slags argument / "bevis" vil vel bli å se på følgene [tex]\{\frac{1}{2n\pi}\}[/tex] og [tex]\{\frac{1}{(2n+1)\pi}\}[/tex]. Hver gang x er i den første følgen så er [tex]sin(1/x) = 0[/tex] og [tex]cos(1/x) = 1[/tex], så verdien av uttrykket blir -1. Hver gang x er i den andre følgen vil [tex]sin(1/x) = 0[/tex] og [tex]cos(1/x) = -1[/tex], så verdien av uttrykket blir 1.

Anta at grensen eksisterer og har en verdi [tex]a[/tex]. Gitt en [tex]\epsilon[/tex] må det da eksistere [tex]\delta[/tex] slik at for [tex]x \in (-\delta, \delta)[/tex] så er [tex]|2x\sin(1/x) - \cos(1/x) - a| < \epsilon[/tex]. Men for en hver [tex]\delta[/tex] vil det finnes punkter [tex]x_1 \in (-\delta, \delta)[/tex] som forekommer i den første følgen og [tex]x_2 \in (-\delta, \delta)[/tex] som forekommer i den andre følgen. I disse punktene er [tex]|2x_1 \sin(1/x_1) - cos(1/x_1) - a| = |-1-a| = |1+a|[/tex] og [tex]|2x_2 \sin(1/x_2) - \cos(1/x_2) - a| = |1-a|[/tex]. Ser du at det videre fører til noe absurd?)

[svinepels]

Ok, så vi har følgende regel: Hvis [tex]\lim_{x \to a}f(x)=L[/tex] og [tex]\lim_{x \to a}g(x)[/tex] ikke eksisterer, så vil aldri [tex]\lim_{x \to a}\left(f(x)+g(x) \right)[/tex] eksistere?

Interessant argument du kom med! Du har rett i at dette i utgangspunktet dreier seg om en oppgave fra analyseøvingene ja, men jeg ble litt interessert i hvordan man generelt beviser at en grense ikke eksisterer. Men hvordan forventer de i så fall at vi skal argumentere i den oppgaven for at grensen ikke eksisterer?

[Vektormannen]

I øvingen er det godt nok å bruke at grensen av summen ikke eksisterer siden grensen av [tex]\cos(1/x)[/tex] ikke eksisterer. For å vise at den ikke eksisterer så er det nok å komme med en "kvalitativ" vurdering der du sier at 1/x går mot uendelig og at cos(1/x) da hele tiden vil forandre verdi og ikke gå mot en grenseverdi. Jeg tror problemstillingen er tatt opp på forelesning også. Men et bevis blir altså noe sånt som det ovenfor tror jeg. Med forbehold mot feil.

Når det gjelder det at [tex]\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))[/tex] ikke eksisterer dersom [tex]\lim_{x \to a} f(x)[/tex] eksisterer og [tex]\lim_{x \to a} g(x)[/tex] ikke eksisterer så kan det bevises ganske greit vha et epsilon-delta-motsigelsesbevis. Da kan du begynne med å anta at grensen av summen eksisterer, dvs. at det for en hver [tex]\epsilon[/tex] finnes en [tex]\delta_1[/tex] slik at [tex]0 < |x-a| < \delta_1 \ \Rightarrow \ |f(x) + g(x) - L| < \epsilon[/tex]. Samtidig antar du også at grensen av f(x) eksisterer, så for samme epsilon eksisterer det også en [tex]\delta_2[/tex] slik at [tex]0<|x-a|<\delta_2 \ \Rightarrow \ |f(x) - M| < \epsilon[/tex]. For [tex]\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}[/tex] gjelder begge ulikhetene. Trikser du litt med dem så vil du oppnå en selvmotsigelse angående funksjonen g.

EDIT: rot med deltaene

[svinepels]

Skjønner. Takk for hjelpen!