Bevis - inversfunksjoner
Posted: 27/10-2011 16:06
Her om dagen funderte jeg over at regnereglene vi har for eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen på mange måter er motsatte avhverandre. Ta for eksempel følgende regler:
[tex]\exp (a+b) = \exp a \cdot \exp b[/tex]
[tex]\ln(ab) = \ln a + \ln b[/tex]
Jeg tenkte naturligvis at dette har med at de er inverser av hverandre. Så jeg stilte meg den helt generelle problemstillingen:
Proposisjon:
La [tex]f: A \to A[/tex] være en funksjon med en invers, og la [tex]a,b \in A[/tex]. Anta at [tex]f(a \bullet b) = f(a) \diamond f(b)[/tex], der [tex]\bullet[/tex] og [tex]\diamond[/tex] er operasjoner som kan anvendes på ordnede par av elementer i A og som resulterer i et nytt element i A. Da vil følgende gjelde:
[tex]f^{-1}(a \diamond b) = f^{-1}(a) \bullet f^{-1}(b)[/tex]
----
Forsøk på bevis:
La [tex]p=f^{-1}(a)[/tex] og [tex]q=f^{-1}(b)[/tex]. Da vil [tex]f(p)=a[/tex] og [tex]f(q)=b[/tex]. Dette gir
[tex]a \diamond b = f(p) \diamond f(q) = f(p \bullet q)[/tex]
Tar vi invers av ligningen over
[tex]f^{-1}(a \diamond b) = f^{-1}\left( f(p \bullet q) \right) = p \bullet q = f^{-1}(a) \bullet f^{-1}(b)[/tex].
Som fullfører beviset.
----
Lurte på om dette er et forsvarlig bevis, og ikke minst, er utsagnet sant utifra antakelsene? Har ennå ikke tatt noen emner som tar for seg operasjoner og slikt på et så generelt nivå, det kommer vel i mer avanserte algebrakurs senere.
[tex]\exp (a+b) = \exp a \cdot \exp b[/tex]
[tex]\ln(ab) = \ln a + \ln b[/tex]
Jeg tenkte naturligvis at dette har med at de er inverser av hverandre. Så jeg stilte meg den helt generelle problemstillingen:
Proposisjon:
La [tex]f: A \to A[/tex] være en funksjon med en invers, og la [tex]a,b \in A[/tex]. Anta at [tex]f(a \bullet b) = f(a) \diamond f(b)[/tex], der [tex]\bullet[/tex] og [tex]\diamond[/tex] er operasjoner som kan anvendes på ordnede par av elementer i A og som resulterer i et nytt element i A. Da vil følgende gjelde:
[tex]f^{-1}(a \diamond b) = f^{-1}(a) \bullet f^{-1}(b)[/tex]
----
Forsøk på bevis:
La [tex]p=f^{-1}(a)[/tex] og [tex]q=f^{-1}(b)[/tex]. Da vil [tex]f(p)=a[/tex] og [tex]f(q)=b[/tex]. Dette gir
[tex]a \diamond b = f(p) \diamond f(q) = f(p \bullet q)[/tex]
Tar vi invers av ligningen over
[tex]f^{-1}(a \diamond b) = f^{-1}\left( f(p \bullet q) \right) = p \bullet q = f^{-1}(a) \bullet f^{-1}(b)[/tex].
Som fullfører beviset.
----
Lurte på om dette er et forsvarlig bevis, og ikke minst, er utsagnet sant utifra antakelsene? Har ennå ikke tatt noen emner som tar for seg operasjoner og slikt på et så generelt nivå, det kommer vel i mer avanserte algebrakurs senere.
