matematikk.net

Løsningsforslag:


[tex]$$a)\;{{ds} \over {dt}} = k \cdot \left( {N - S} \right)$$[/tex]

Her er [tex]$${{ds} \over {dt}}$$[/tex] individer som blir smittet per tidsenhet.

[tex]k[/tex] er proporsjonalitetsfaktoren og [tex]$$\left( {N - S} \right)$$[/tex] friske indivier (hele bestanden [tex]N[/tex] minus de syke [tex]S[/tex])

[tex]$$b)\;{{ds} \over {dt}} = - k \cdot \left( {N - S} \right)\;\;\left| { \cdot {{dt} \over {\left( {N - S} \right)}}} \right.$$[/tex]

Legg merke til minustegnet vi satt inn; fordi det skal jo være en nedgang av friske personer.

[tex]$$\int {{{ds} \over {\left( {N - S} \right)}} = - \int k \;dt} $$[/tex]

[tex]$$\ln \left| {N - S} \right| = - kt + C$$[/tex]

[tex]$$\left| {N - S} \right| = {e^{ - kt + C}} = {e^{ - kt}} \cdot {e^C}$$[/tex]

[tex]$$N - S = \pm A{e^{ - kt}}$$[/tex]

[tex]$$\underline {S\left( t \right) = N - A{e^{ - kt}}} $$[/tex]


[tex]$$S\left( 0 \right) = 100$$[/tex]

[tex]$$N - A{e^{ - k \cdot 0}} = 100$$[/tex]

[tex]$$N - A = 100 \Rightarrow A = N - 100 = 1000 - 100 = \underline {900} $$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {S\left( t \right) = 1000 - 900{e^{ - kt}}}} $$[/tex]


[tex]$$c)\;S\left( 4 \right) = 400$$[/tex]

[tex]$$1000 - 900{e^{ - k \cdot 4}} = 400$$[/tex]

[tex]$${e^{ - k \cdot 4}} = {{400 - 1000} \over { - 900}} = {{ - 600} \over { - 900}} = {2 \over 3}$$[/tex]

[tex]$$ - k \cdot 4 = \ln {2 \over 3}$$[/tex]

[tex]$$k = {{\ln {2 \over 3}} \over { - 4}} \approx \underline {0,1014} $$[/tex]

[tex]$$\underline {S\left( t \right) = 1000 - 900{e^{ - 0,1014t}}} $$[/tex]


[tex]$$1000 - 900{e^{ - 0,1014t}} = 500$$[/tex]

[tex]$${e^{ - 0,1014t}} = {{500 - 1000} \over { - 900}} = {{ - 500} \over { - 900}} = {5 \over 9}$$[/tex]

[tex]$$ - 0,1014t = \ln {5 \over 9}$$[/tex]

[tex]$$t = {{\ln {5 \over 9}} \over { - 0,1014}} \approx \underline{\underline {5,8\;{\rm{maaneder}}\;{\rm{el}}{\rm{. 5 maaneder og 15 dager}}}} $$[/tex]


Spørsmål: Hvilken funksjon har proporsjonalitetsfaktoren [tex]k[/tex] egentlig? Skal denne verdien sørge for en form for lik stigning/nedgang?

Det jeg gjorde med minustegnet, er det lovlig? (så det på formelen oppgitt i oppgaven at jeg måtte gjøre det slik) Og det gav jo en logisk mening også mener jeg.

1)
http://en.wikipedia.org/wiki/Proportion ... thematics)

(hele linken)
========================
2)
[tex]\frac{d}{dS}\left(\ln|N-S|\right)=\frac{-1}{N-S}[/tex]

derfor...

Janhaa wrote:1)
http://en.wikipedia.org/wiki/Proportion ... thematics)

(hele linken)
========================
2)
[tex]\frac{d}{dS}\left(\ln|N-S|\right)=\frac{-1}{N-S}[/tex]

derfor...

1. Min nye tolkning av proposjonalitetskonstanten:

Eks: Hvis et objekt beveger seg med konstant fart, da er avstanden tilbakelagt proporsjonal med tiden brukt på avstanden. Farten vil være proporsjonalitetskonstanten her. [tex]$$s = vt$$[/tex]

I mitt eksempel er altså antall syke individers forandring per tid, proporsjonal med antall friske individer til enhver tid. Tiden er her proporsjonalitetskonstanten.

Proporsjonalitetskonstanten er med andre ord en konstant som begge variablene forandrer seg individuelt proporsjonalt etter. Det er dette som gjør to størrelser proporsjonale. To størrelser trenger altså ikke være direkte proporsjonale som [tex]$$a = b$$[/tex], men de kan være proporsjonale til en felles konstant.

Et tydelig eksempel på dette er:

The circumference of a circle is proportional to its diameter, with the constant of proportionality equal to [tex]$$\pi $$[/tex]

2. Det du sier er at hvis jeg [tex]$${d \over {dS}}\left( {\ln |N - S|} \right)$$[/tex] så vil det dukke opp [tex]$${{ - 1} \over {N - S}}$$[/tex] et minustegn jeg ikke fikk med meg når jeg integrerte.

I denne typen tekst oppgaver må man med andre ord bruke logikk/sjekke matematisk om integrasjon og derivasjon ikke gir noen underskjulte fortegn?