Forholdstesten/rot-testen

[laks34]

Hei!

Hvordan kan jeg bruke forholdstesten eller rot-testen til å finne ut om disse rekkene konvergerer/diveregerer?

1. Rekken: ((n-2)/n)^n
Rot-testen: "Ingen konklusjon" == 1
Forholdstesten: Setter opp brøken men klarer ikke se hvordan jeg skal gå fram for å finne p

2. Rekken: ((ln n)^n)/(n^n)
Forholdstesten: Samme problem som i nr 1... får (((ln (n+1))^2))/(n+1)^2 ..

[Vektormannen]

Det første du må huske å sjekke er om [tex]\lim_{n \to \infty} a_n = 0[/tex]. Det er jo nødvendig for at rekken skal kunne konvergere. Hva sier det deg om 1)?

2) Her ville jeg prøvd rot-testen først, siden du har noe som er opphøyd i n.

[laks34]

okay, så

1. Må derfor divergere pga nth term testen gir 1.

2. Etter rot-testen står jeg igjen med ln n/ n som går mot 0 og konvergens?

[Vektormannen]

1. Akkurat.

2. Det stemmer det. Dersom grenseverdien i rottesten er mindre enn 1 så konvergerer jo rekken.

Flott.

[laks34]

nok et spørsmål:

Hvis jeg skal vise om 3 [symbol:rot] (n+1) / ( [symbol:rot] n + 1) konvergerer eller divergerer.. kan jeg på noen måte få fjernet røttene mot hverandre?

[Vektormannen]

Du kan ikke akkurat fjerne dem nei. Men hva er det du har lyst til å gjøre her da? Det at du har n opphøyd i samme potens i teller og nevner (du har kvadratroten av n begge steder) bør indikere at [tex]a_n[/tex] ikke trenger å gå mot 0 når [tex]n \to \infty[/tex]...

[laks34]

men er det ikke mulig å få fram at rekken divergerer ? Går den ikke mot 3 når man bruker nth term testen?:

[Vektormannen]

Jo, det var akkurat det jeg mente med posten ovenfor! [tex]a_n[/tex] går ikke mot 0, så da må rekken divergere. Du må selvsagt vise dette ved regning. Er det der du får problemer? Et vanlig triks er i såfall å dele på n av høyeste grad i teller og nevner. Den høyeste graden n forekommer med her er [tex]1/2[/tex], så du deler med [tex]\sqrt n[/tex] i teller og nevner. Da får du:

[tex]3\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt n + 1} = 3\frac{\sqrt{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt n}}{(\sqrt n + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt n}}[/tex]

Ser du hva som skjer videre da?

[laks34]

hmm.. får du bort roten i teller og ganger opp med nevner etterpå?:/

[Vektormannen]

Hvis du ganger inn [tex]\frac{1}{\sqrt n}[/tex] i teller og nevner nå så får du:

[tex]3\frac{\sqrt{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}{\frac{\sqrt n}{\sqrt n} + \frac{1}{\sqrt n}} = \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{1 + \frac{1}{\sqrt n}}[/tex]

Nå har vi et uttrykk som det er enkelt å bestemme grenseverdien til. Tar du det?

[laks34]

aigh, ok 1/ [symbol:rot] n og 1 /n --> 0 og grenseverdien blir 1..

Trikset var å dele med den høyeste koeffisienten i teller og nevner...
notert.

TAKKER!!