matematikk.net

Hei.

Jeg sliter litt med å se logikken i et Corollary i Rudins bok. Dette er fra seksjonen "The Continuity of Derivatives". Man tar her utgangspunkt i Teorem 5.12:

Suppose [tex]f[/tex] is a real differentiable function on [tex][a,b][/tex] and suppose [tex]f^\prime(a) < \lambda < f^\prime(b)[/tex]. Then there is a point [tex]x \in (a,b)[/tex] such that [tex]f^\prime(x) = \lambda[/tex].

A similar result holds of course if [tex]f^\prime(a) > f^\prime(b)[/tex].

PROOF:

Put [tex]g(t) = f(t) - \lambda t[/tex]. Then [tex]g^\prime(a) < 0[/tex], so that [tex]g(t_1) < g(a)[/tex] for some [tex]t_1 \in (a,b)[/tex], and [tex]g^\prime(b) > 0[/tex], so that [tex]g(t_2) < g(b)[/tex] for some [tex]t_2 \in (a,b)[/tex]. Hence [tex]g[/tex] attains its minimum on [tex][a,b][/tex] at some point [tex]x[/tex] such that [tex]a < x < b[/tex]. Thus [tex]g^\prime(x) = 0[/tex]. Hence [tex]f^\prime(x) = \lambda[/tex].


COROLLARY

If [tex]f[/tex] is differentiable on [tex][a,b][/tex], then [tex]f^\prime[/tex] cannot have any simple discontinuities on [tex][a,b][/tex].

But [tex]f[/tex] may very well have discontinuities of the second kind.


OK. Her forstår jeg beviset fullt ut. Men jeg sliter litt med å se hvordan vi får det gitte Corollary basert på dette beviset. Om noen kort kan forklare hvordan dette følger av beviset, så ville jeg vært veldig takknemlig!

[tex]f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x})\forall x\neq 0\, ,f(0)=0[/tex] er deriverbar i x=0, men [tex]f^,[/tex] har likevel en essensiell diskontinuitet i dette punktet. Dersom den deriverte har en jump-diskontinuitet i x=c vil jo tangenten til f gjøre et lite hopp i dette punktet, og da vil jo ikke f være deriverbar der heller.

Takk for svar . Nå er jeg med.

bevis

Hvis [tex]f^,[/tex] har en jump-diskontinuitet i [tex]x=c[/tex] er f.eks. [tex]\lim_{x\to c^+}f^,(x)=a> b=\lim_{x\to c^-}f^,(x)[/tex].

Velg en [tex]\frac{a-b}{3}>\epsilon>0[/tex] og en [tex]\delta>0[/tex] slik at x<c og [tex]c-x<\delta[/tex] medfører at [tex]|f^,(x)-a|<\epsilon[/tex], og x>c og [tex]x-c<\delta[/tex] medfører at [tex]|f^,(x)-b|<\epsilon[/tex]. Velg en [tex]a-\epsilon>\lambda\neq f^,(c)>b+\epsilon[/tex].

Da fins det en [tex]c-\delta<e<c[/tex] og [tex]c<f<c+\delta[/tex] slik at [tex]f^,(e)<\lambda<f^,(f)[/tex], men ingen e<y<f slik at [tex]f^,(y)=\lambda[/tex]

Takk så mye! Jeg setter stor pris på hjelpen, plutarco!