Uniform kontinuitet og begrenset funksjon

[krje1980]

Hei.

Kom over følgende teorem, og er litt usikker på en liten del av teoremet:

THEOREM: If [tex]f[/tex] is uniformly continuous on a bounded interval [tex]I[/tex], then [tex]f[/tex] is also bounded on [tex]I[/tex].

PROOF: In this case we assume that [tex]I[/tex] is of the form: [tex](a,b), (a,b], [a,b)[/tex] or [tex][a,b][/tex], where [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex]. Fix an [tex]\epsilon > 0[/tex], for instance [tex]\epsilon = 1[/tex]. Since [tex]f[/tex] is uniformly continuous, there is a [tex]\delta > 0[/tex] such that:

[tex]|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon = 1[/tex] when [tex]x_1, x_2 \in I[/tex] and [tex]|x_1 - x_2| < \delta[/tex]

Divide [tex]I[/tex] into [tex]N[/tex] intervals, [tex]I_1, . . ., I_N[/tex], where [tex]N[/tex] is chosen so that [tex]\frac{b-a}{N} < \delta[/tex].

Let [tex]z_i[/tex] be the center point of [tex]I_i[/tex]. For each [tex]i[/tex] and [tex]x \in I_i[/tex], [tex]|x - z_i| < \delta[/tex], and then we have:

[tex]|f(x)| = |f(x) - f(z_i) + f(z_i)| \leq |f(x) - f(z_i)| + |f(z_i)| \leq 1 + |f(z_i)|[/tex]. Then for [tex]x \in I_i[/tex],

[tex]|f(x)| \leq 1 + max_{1 \leq i \leq N}\{|f(z_i)|\}[/tex]

Let [tex]M = max_{1 \leq i \leq N}\{|f(z_i)|\}[/tex]. Then [tex]|f(x)| \leq 1 + M[/tex]

QED


OK, så den eneste tingen jeg er litt usikker på her er nå man skriver:

Let [tex]M = max_{1 \leq i \leq N}\{|f(z_i)|\}[/tex].

Hvordan er det vi vet med sikkerhet at hver [tex]|f(z_i)|[/tex] er begrenset? Jeg ser jo at dersom dette er gitt så følger beviset, men hvorfor er det ikke mulig at vi har en [tex]|f(z_i)|[/tex] som er ubegrenset?

Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg.

[Gustav]

Det følger vel av at [tex]\{f(z_i)\}[/tex] er en endelig mengde, og alle [tex]f(z_i)[/tex] er naturligvis definert, dvs. at ingen av [tex]f(z_i)[/tex]-ene er uendelig.

[krje1980]

alle [tex]f(z_i)[/tex] er naturligvis definert, dvs. at ingen av [tex]f(z_i)[/tex]-ene er uendelig.

Takk skal du ha. Med dette, mener du da at siden funksjonen er definert som uniformt kontinuerlig, så kan den ikke gå mot uendelig innenfor et begresnet intervall? (Det kan de jo dersom domenet er uendelig - ta f.eks. funksjonen [tex]f(x) = \sqrt{x}[/tex] på domenet [tex][0, \infty)[/tex]).

[Gustav]

Det jeg mener er at vi har en endelig delmengde av en totalt ordnet mengde R. Da eksisterer det et maksimalt element.

[krje1980]

Takk skal du ha . Jeg skjønner det nå.