matematikk.net

Sitter og løser eksamensoppgaver før morgendagen, så dere får bare tåle mange tåpelige spørsmål. Lyst å prøve litt selv før jeg sjekker ut LF.


Oppgave 3

Finnes det primtall på formen [tex]9^n - n^2[/tex] ?

-----------

Her tenker jeg at n enten kan være oddetall, eller partall. Om n er et partall, kan det skrives på formen 2k, som gir oss

[tex]9^{2k} - (2k)^2 = \left( 9^{k} \right)^2 - (2k)^2 = (9^k - 2k)(9^k+2k)[/tex]

Altså kan tallet skrives som produktet av to tall, hvor av begge er ulik null. Og er dermed ikke et primtall.

Utifra litt kalkulatortygging virker det som at [tex]9^n - n^2[/tex] alltid er et partall dersom n er odde. Noe jeg ikke har klart å bevise.

Noen innspill på hvordan denne oppgaven løses, og om jeg har tenkt riktig ?

Hva skjer om du gjør det samme med [tex]n = 2k+1[/tex]? Kan du fortsatt faktorisere? (9 er et kvadrattall i seg selv.)

[tex]9^{2k+1} - (2k+1)^2[/tex]

[tex]3^2 \cdot 9^{2k} - (2k+1)^2[/tex]

[tex]\left( 3 \cdot 9^{k} \right)^2 - (2k+1)^2[/tex]

[tex]\left( 3 \cdot 9^{k} - (2k+1) \left) \left( 3 \cdot 9^{k} + 2k+1 \right)[/tex]

Tror du at en må føre noe dypt og rigøst bevis for at ingen av faktorene blir 1?

Jeg kan jo for eksempel vise at [tex]3\cdot 9^1 = 27[/tex] og at [tex]2\cdot1 + 1 = 3[/tex]. Og ved å se på den deriverte vokser [tex]9^k[/tex] raskere enn k for alle [tex]n>0[/tex]

Jeg tror (håper hvertfall det ) at det er nok å argumentere slik du gjør.

[tex]9^n - n^2 \, = \, \left(3^n\right)^2-n^2 = \left(3^n-n\right) \left(3^n+n\right)[/tex]

Om du først skal skille mellom odetall og partall er det ganske lett å si at når n er odde er 'primtallet' differensen mellom to oddetall, og derfor delelig med 2, så kun et primtall om det faktisk er lik to. Og det kan det jo ikke være.