matematikk.net

Vi ser på et generelt b`te gradspolynom. Altså en funksjon på formen

[tex]f(x) = a_1 x^b + a_2 x^{b-1} + \, ... \, + a_{k-1} x^1 + a_0 [/tex]

Der ikke alle a_n er null.

la [tex]f^{n}(x)[/tex] definere den n`tederiverte av
der [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] og [tex]n\leq b[/tex]

Anta nå videre at [tex]x_1 \neq x_2[/tex] og

[tex]f^{n}(x_1) = 0[/tex] og at [tex]f^{n}(x_2) = 0[/tex]
og at [tex]f(x)\neq 0[/tex] for [tex]x\in(x_1,x_2)[/tex]

([tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] er to påfølgdende nullpunkt for den n`te deriverte)

Hvordan kan vi nå vise at

[tex]f^{n+1}\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) = 0[/tex]
?

-----------------------------------------

Hvordan kan jeg vite at nullpunktet til den neste deriverte, alltid ligger mellom to påfølgende nullpunkter til den deriverte?

EDIT:

Og innser nå at dette er tull. Takk svinepelz =)

Virker som det bare gjelder dersom vi har en andregradsfunksjon, eller om nullpunktene er symmetrisk om y-aksen.

Glemm og slett denne posten

Dette er vel ikke generelt sant?

La [tex]g(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)[/tex]

Vi har at g(-2)=g(1)=0, men

[tex]g^{\prime}\left( \frac{-2+1}{2} \right) \neq 0[/tex]