Hjelp! Trigonometrisk likning!

[Kalle10]

Trenger hjelp til en trigonometrisk ligning jeg ikke helt får til:

-3^1/2 sin x - cos x = 2 x er mellom (0, 2 pi)

Håper på svart fort

[Nebuchadnezzar]

Venstresiden din kan bli skrevet om til

[tex]-2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)[/tex]

Ser du hva du kan gjøre videre?

[Kalle10]

Hvorfor kan venstresiden skrives om slik? Kunne du forklart litt nærmere?

[Nebuchadnezzar]

Utledningen står her

http://mathsathawthorn.pbworks.com/w/pa ... in-and-cos

Og burde også stå i matteboken din, den er litt lang så jeg velger å ikke ta den i stor detalj her.

Dersom vi skal skrive om

[tex]a \sin(x) + b \cos(x)[/tex]

Innfører vi først størrelsen [tex]A = \sqrt{a^2+b^2}[/tex]
Så skriver vi

[tex]A \left( \frac{a}{A} \sin(x) + \frac{b}{A} \cos(x) \right) [/tex]

Utifra tegning eller figur, kan vi se at

[tex]\cos(\phi) = \frac{a}{A}[/tex] og [tex]\sin(\phi) = \frac{b}{A}[/tex]

[tex]A \left( \cos(\phi) \sin(x) + \sin(\phi) \cos(x) \right) [/tex]

Herfra bruker vi sumformelen for sinus

[tex]A \sin(x + \phi) [/tex]

Hvordan finner vi \phi ? Jo den er jo gitt som

[tex]\phi=\cos^{-1^}\left( \frac{a}{A}\right) = sin^{-1^}\left( \frac{b}{A}\right) = \tan^{-1^}\left( \frac{b}{a}\right)[/tex]

Så i praksis regner du bare ut A og [tex]\phi[/tex] og skriver

[tex]a\sin(x) + b \cos(x) = A \sin(x + \phi) [/tex]