Trenger hjelp - hvordan løse denne oppgaven

[rembrandt]

f(x) = (X^3) - (3X^2) + a

For hvilken verdier av a har likningen f(x)=0 nøyaktig en løsning?

[Nebuchadnezzar]

Funksjonen er av odde grad, skifter fortegn, og har dermed alltid minst ett nullpunkt.

Funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt dersom y koordinatene til topp og bunnpunktet ligger på samme side av x-aksen

[rembrandt]

Kan du gå litt mer i detaljer, takk...

[Nebuchadnezzar]

Kan du gå litt mer i detaljer, takk... ?

Jeg ser nemlig null innsatts fra deg. Gidder ikke du, gidder ikke jeg.

Funksjonen er av odde grad, skifter fortegn, og har dermed alltid minst ett nullpunkt.

Funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt dersom y koordinatene til topp og bunnpunktet ligger på samme side av x-aksen

Tegn funksjonen for ulike verdier av a. Finn topp og bunnpunktet til f(x)

[rembrandt]

Jeg gjorde jo det, men klarte ikke å finne svaret. Jeg legger aldri ut post før jeg selv ikke har prøvd selv å løse flere ganger.

[Nebuchadnezzar]

Så du klarte ikke å tegne funksjonen for ulike verdier av a? Imponerende

http://www.2shared.com/document/ydl6iA2H/T1_3__V11.html

[rembrandt]

Jeg prøver virkelig å forstå dette, men du skriver ikke noe teori bare tegner grafen og mobber meg.

[svinepels]

Skal hjelpe deg jeg, kamerat.

Som du ser fra bildet til Nebi, så vil kurven til tredjegradsuttrykket ditt alltid skjære x-aksen minst én gang. Dette gjelder også generelt for tredjegradsfunksjoner. Du vil bestemme a slik at denne skjæringen er den eneste.

Legg merke til at det høyre bunnpunktet, det som oppstår i x=2, er det som kan skape problemer. Vi vil at dette bunnpunktet skal ha en y-verdi større enn 0, ikke sant? Ellers vil jo grafen krysse x-aksen mer enn én gang. Er du med, og har du noen ideer for hvordan man kan løse problemet?

[2357]

Legg merke til at det høyre bunnpunktet, det som oppstår i x=2, er det som kan skape problemer. Vi vil at dette bunnpunktet skal ha en y-verdi større enn 0, ikke sant?

Dette er bare halve sannheten. Se på den røde grafen. Der er det ingen problemer. Som Nebu påpekte, må topp- og bunnpunktene ligge på samme side av x-aksen. Den siden trenger ikke være den øvre siden.

[svinepels]

Stemmer det. Man må vel derfor se på hvert tilfelle hver for seg. Kan for eksempel begynne med det jeg nevnte.

[rembrandt]

Jeg skjønner ingenting nå....

[2357]

Hvis du forstår/aksepterer idéen om at topp- og bunnpunktene må ligge på samme side av x-aksen, er det nokså rett fram.

Du begynner med å derivere [tex]f[/tex] for å finne ekstremalpunktene.

[tex]f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x=0[/tex]

Gir

[tex]x = 0 \quad \vee \quad x = 2[/tex]

Du må gjerne undersøke om disse er topp- eller bunnpunkter, men det spiller i grunn ingen rolle for det vi skal gjøre videre. Skjønt er det kanskje fint å vite at det ikke er snakk om terrassepunkter vi har med å gjøre, men nå har vi jo en fin tegning, så da hopper jeg over det.

Hvis det av de to punktene som ligger lavest, ligger over x-aksen, vet vi at begge ligger over. Tilsvarende, om det som ligger høyest ligger under x-aksen befinner seg under x-aksen, gjør begge punktene det. Ved innsetning finner vi at [tex]f(0)=a \quad > \quad f(2)= a - 4[/tex]. Altså har vi én løsning dersom [tex]f(2) > 0[/tex] eller [tex]f(0) < 0[/tex]

For øvrig, når vi først har tegningen, klarer man jo fint å se hvor topp- og bunnpunktene ligger, og da er det bare å hoppe til det aller siste i løsningen.

[Nebuchadnezzar]

Hadde du giddet og trykke på den første linken jeg gav deg, så ser du at jeg har skrevet fullstendig løsningsforslag til denne og alle andre oppgavene på årets (annulerte) T1 eksamen =)

[rembrandt]

Nebu, jeg får ikke åpnet den linken til pdf-filen din. Fikk errror og tilbud om å laste ned noe tvilsomt som ikke var relatert til den filen....dessuten er det høst 2011 fasit dubør legge ut ikke vår 2011 slik det står på filen

2357, takk for detaljer, men jeg er forvirret, hvordan skal jeg tenke fram når sånn oppgave dukker opp....

[Nebuchadnezzar]

Et godt tips er å alltid alltid alltid tegn... Tegn alt av vektorer, teng alt av grafer, og tegn alt av geometri. Det gjør alt så mye lettere, og du gjør ting bare ting vanskelig for deg selv om du nekter å tegne.

Jeg slet med den oppgaven når jeg så den, og viste ikkke hvor jeg skulle begynne. Så tegnetjeg funkksjonen i geoegbra og da gav alt mening med en gang. Jeg så at ved å variere a, gled funksjonen opp og ned x-aksen. DErfra var resten en smal sak.

Et annet hett tips er å regne til du spyr, og når du spyr fortsetter du å regne. Tilslutt vil alle slike smarte triks, lure faktoriseringer bare være logisk. Både fordi du er blitt flinkere, men kanskje mer fordi du har sett liknende oppgaver før.

http://www.viewdocsonline.com/document/12we0u