Hvordan løser man disse 3 oppgavene nevnt under?:
Oppgave 9.2.27
Sett [tex]\: a_n=\int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{sin(x)}{x} dx[/tex]
for n=1,2,3....
a) Vis at vi kan skrive
[tex]a_n=(-1)^n \int _{0}^{\pi} \frac{sin(x)}{n \pi +t}dt[/tex]
og at ulikheten [tex]\: |a_{n+1}| < |a_n|[/tex] holder.
b) Bruk ulikhetene
[tex]\frac{sin(t)}{(n+1)\pi} \: < \: \frac{sin(t)}{n\pi +t} \: \leq \: \frac{1}{n\pi+t}[/tex]
for [tex] \: 0<t<\pi[/tex]
til å vise
[tex]\frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n+1} < |a_n|< ln(1+\frac{1}{n})< \frac{1}{n}[/tex].
c) Forklar hvorfor følgen {a_n} konvergerer og finn
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n[/tex]
På forhånd takk!
Vis at (integral)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Sist redigert av Integralen den 26/01-2012 08:51, redigert 1 gang totalt.
-
- Dirichlet
- Innlegg: 164
- Registrert: 08/01-2012 01:48
Noen tanker:
a)
For å vise omformingen kan du nok bruke en enkel substitusjon og periodisiteten til sinus-funksjonen.
For å vise at ulikheten stemmer, kan det nok være smart å ta for seg nevneren.
b)
Vil tro du kommer et godt stykke ved å integrere uttrykkene i de førstnevnte ulikhetene.
c)
«Skvising» fra oppgave b) kan nok være til hjelp.
a)
For å vise omformingen kan du nok bruke en enkel substitusjon og periodisiteten til sinus-funksjonen.
For å vise at ulikheten stemmer, kan det nok være smart å ta for seg nevneren.
b)
Vil tro du kommer et godt stykke ved å integrere uttrykkene i de førstnevnte ulikhetene.
c)
«Skvising» fra oppgave b) kan nok være til hjelp.