Binomiske forsøk

[malef]

Det har nettopp vært valg., og 20 % av velgerne stemte på Høyre. Vi velger tilfeldig 500 personer blant dem som har stemt ved valget. La X være tallet på høyrevelgere blant dem.
Finn [tex]P(X \leq 110)[/tex]

Denne oppgaven ville jeg klart om P=110, men nå kommer jeg ingen vei - som vanlig når det er snakk om minst eller høyst. Takknemlig om noen kan hjelpe meg i gang

[Nebuchadnezzar]

[tex]\large P(X \leq 110) = \sum_{k=0}^{110} {500 \choose k} \left( \frac{1}{5}\right)^k \left( \frac{4}{5}\right)^{500-k}[/tex]

[malef]

Takk - men dette gikk over hodet på meg Kjempefint om du kunne forklare trinnvis:

1. Hva er dette? [tex]\sum_{k=0}^{110}[/tex]

2. [tex]{500 \choose k}[/tex] Dette er vel binomialkoeffisienten, men jeg skjønner ikke hvordan jeg kommer frem til k

3. [tex]\left( \frac{1}{5}\right)^k \left( \frac{4}{6}\right)^{500-k}[/tex] Her er det uklart for meg hvor brøkene kommer fra, og k er fortsatt ukjent ...

Så her var det dessverre ikke mye jeg skjønte

[Nebuchadnezzar]

Skulle stått 4/5 på siste brøken der.

http://no.wikipedia.org/wiki/Binomisk_fordeling

http://www.youtube.com/watch?v=xNLQuuvE9ug

http://www.youtube.com/watch?v=O12yTz_8EOw

Kort sagt så betyr [tex]\sum[/tex] sum, eller at vi skal legge sammen ting. Kort hånd notasjon, slik vi kan skrive lange summer kortere.
Så for eksempel så betyr

[tex]\sum_{k=0}^{5} k = 0+1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15[/tex]

Dette leses: Summen av k, der k går 0 en til 5.

Formelen jeg gav, er binomisk sannsynlighet. Men vi legger sammen alle sannsynligheten fra og med sjangsen for at null stemmer, til og med sannsynligheten for at 110 stemmer.

[tex]P(X\leq 110)= P(0) + P(1) + P(2) + \ ... \ + P(109) + P(110)[/tex]

[tex]P(k)={ 500 \choose k } \left( \rho \right)^{k} \left( 1 - \rho \right)^{500 - k} ={ 500 \choose k } \left( \frac{20}{100} \right)^{k} \left( 1 - \frac{80}{100} \right)^{500 - k} ={ 500 \choose k } \left( \frac{1}{5} \right)^{k} \left( \frac{4}{5} \right)^{500 - k} [/tex]

http://no.wikipedia.org/wiki/Sum

http://en.wikipedia.org/wiki/Summation

[malef]

Da begynner jeg å henge litt med igjen Tenkte på å legge sammen sannsynlighetene, men fra 0 til 110 blir jo det litt upraktisk. I wikipediaartikkelen om summering så jeg at vi kan bruke [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex] for å summere. Men da blir vel binomialkoeffisienten [tex]{{500} \choose {6105}}[/tex]? Så her må jeg vel ha misforstått?

[Nebuchadnezzar]

Dette er kalkulatormat

Og det er bare summen av de naturlige tallene som blir den formelen. Altså

[tex]\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Dette gjelder ikke generellt for andre summer ! (Slik som den vi har)

Men ofte kan vi slippe å summere et kjempestort antall ledd, siden vi kan heller regne med den komplimentere sannsynligheten.

Så om vi skulle ha regnet ut sannsynligheten for [tex]P(X\geq 5)[/tex] er det mye lettere å regne ut [tex]1 - [P(0) + P(1) + ... + P(4)][/tex]

[malef]

Den skriker INVALID DATA

[Janhaa]

ikke for å blande meg for mye inn, men blir uansett ikke summen (P) veldig liten når dette gjøres på Bin (n, p) måten!?

Er det ikke bedre å tilnærme N ([tex]\mu, \sigma[/tex])
siden np(1-p) = 80 >> 5

kanskje normalfordelinga ikke er pensum i 1T, sånn var det kanskje...

[Nebuchadnezzar]

Jo mye bedre å tilnærme med en hypergeometrisk fordeling, evnt poisson fordeling. Men dog er ikke dette pensum i 1T. Dessverre

[Janhaa]

ja, Wolfram Alpha er og blir en røver...

[Nebuchadnezzar]

Tok litt tid å finne rett input da...

Kunne du vist tilnærmingsmetoden med nomalfordelinga? =)

[malef]

Jeg er nok falt ettertrykkelig av lasset. Slik ville jeg regnet ut X=110:

[tex]{{500} \choose {110}} \cdot (0.2)^{110} \cdot (0.8)^{390}=0.023[/tex]

Kan jeg be dere rett og slett vise hvordan dette må tilpasses for [tex]X \leq 110[/tex]?

[Nebuchadnezzar]

Det er ikke noe lettere metode i 1t enn å lenge sammen alle sannsynlighetene opp til 110, altså

[tex]P(X \leq 110) = P(0) \ + \ P(1) \ + \ ... \ + \ P(109) \ + \ P(110) [/tex]

Hvordan en regner ut dette er opp til en selv..

[Janhaa]

Tok litt tid å finne rett input da...
Kunne du vist tilnærmingsmetoden med nomalfordelinga? =)

lenge siden dette Nebu, men

[tex]N(\mu, \sigma)[/tex]

[tex]N(\mu=np, \sigma=\sqrt{np(1-p)})=N(100, 8.94)[/tex]

så må man ta høyde for halvkorreksjoner, slik at

[tex]P=G(\frac{110-100+0,5}{8,94})=G(1,17)=0,879[/tex]

[malef]

Hvordan en regner ut dette er opp til en selv..

Jeg får sette meg grundigere inn i kalkulatoren og se om den takler slikt. Såvidt jeg skjønner Google er det kumulativ distribusjon jeg eventuelt bør lese om.

Takk for hjelpen!