Derivere med brøk

[kaffekjele]

Jeg har akkurat startet på kapittelet om derivasjon, men jeg kan dessverre ikke si at jeg forstår så veldig mye foreløpig.
Oppgaven er å derivere f'(3) når f(x)=1/x
Noen synes sikkert det er veldig elementært, men jeg må begynne i det små for å ikke dette av etterhvert som kapittelet fortsetter.

Her er det jeg har gjort så langt: http://tinypic.com/r/2m2ykwx/5
Fasiten sier at svaret skal være -1/9, så jeg skjønner jeg er på bærtur, men hvor?

[Nebuchadnezzar]

Her er røvermetoden å skrive det som

[tex]f^{\prime} (x) = \left( x^{-1} \right)^\prime[/tex]
[tex]f^{\prime} (x) = -1 \cdot x^{-1-1} = - x^{-2}[/tex]

Hvor regelen om at [tex]\left( x^n \right)^\prime = n \cdot x^{n-1} [/tex]

Slik at [tex]f^{\prime} (3) = - \frac{1}{9}[/tex]

Om du skal bruke definisjonen blir det litt mer hårete, skal se over det du skrev =)

Problemet ditt ligger litt i algebraen.(Du har regnet litt feil) Her anbefaler jeg deg to ting.

1. Bruk [tex]h[/tex] og ikke [tex]\Delta x[/tex]. Den første forvirrer meg mindre. Videre så er det mye lettere å regne med x, og heller sette inn 3, tilslutt. Dette gir oss at

[tex]f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex]

[tex]f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} = \frac{-h}{x(x+h)}[/tex]
Slik at

[tex]f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex]

[tex]f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}[/tex]

[tex]f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-\cancel{h}}{x(x+h)}}{\cancel{h}}[/tex]

[tex]f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-1}{x(x+h)}}{1}[/tex]

[tex]f^{\prime}(x) = -\frac{1}{x^2}[/tex]

Herfra ser vi enkelt svaret fårt

[kaffekjele]

Tusen takk. Du forklarer det mye bedre enn det boka gjør.