Nå vil jeg komme med en liten digresjon. Dette vil ikke være spesielt nyttig for deg, men kanskje for andre senere. Det gir også kanskje
en litt bedre matematisk innsikt =)
Som vist tidligere kan den binomiske formelen ofte være grei, men noen ganger så krever det veldig mye datakraft å regne ut.
Derfor bruker vi gjerne andre tilnærminger.
Tinærmingene er jo selvsagt ikke helt nøyaktige, men kan
ofte være gode nok.
Dersom vi skal regne ut noe med binomialformelen, kan vi bruke Poissonfordelingen (uttales påsån med en liten fransk homofil aksent)
Kort sagt så blir tilnærmingen
[tex]\Large {n \choose k} \left( \rho \right)^k \left( 1 - \rho \right)^k \ \approx \ \frac{\mu^x \cdot e^{-\mu}}{x!}[/tex]
Der høyre side kalles possionfordelingen og [tex]\mu = \rho \cdot n[/tex].
Nå trenger ikke du tro meg, men høyre siden er faktisk en god del lettere å regne ut enn venstresiden.
Når er det trygt å bruke denne tilnærmingen, eller når er det lurt? En fin tommelfingerregel er at dette er en svært god tilnærming dersom
[tex]n\rho \leq 10[/tex] og [tex]n\geq 100 [/tex]
Men vi kan gjøre enda en frekk tilnærming.
Eneste problemet vi har på høyresiden er x! eller fakulteten.
Denne blir litt problematisk (tar lang tid på datamaskin) slik at vi gjerne skulle ønske å tilnærme denne og.
Det kan vi med stirrlings formel, som vist under
[tex]x! \ \approx \ \sqrt{2\pi x} \left( \frac{x}{e}\right)^x[/tex]
Igjen så er dette en god tilnærming når x > 10. Som vist på denne figuren
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/e ... mation.png
Men igjen, dette kan du jo bare teste ved å sette inn for eksempel 5 og se.
Nå oppsumerer vi under
[tex]\Large {n \choose k} \left( \rho \right)^k \left( 1 - \rho \right)^k \ \approx \ \frac{\mu^x \cdot e^{-\mu}}{x!}[/tex]
[tex]\Large {n \choose k} \left( \rho \right)^k \left( 1 - \rho \right)^k \ \approx \ \frac{\mu^x \cdot e^{-\mu}}{\sqrt{2\pi x} \left( \frac{x}{e}\right)^x}[/tex]
Nå ved å sette inn tallene dine får vi (etter litt algebra magi, og tallknusing) Her er [tex]n = 500[/tex] og [tex]\mu = 500 \cdot \frac{1}{2} = 250[/tex] Siden [tex]\mu > 10[/tex]
får vi ikke får en voldsomt god tilnærming. Men vi får en nogenlunde god.
[tex]B(250)\ \approx \ \frac{(250)^{250} \cdot e^{-250}}{\sqrt{2\pi 250} \left( \frac{250}{e}\right)^{250}}[/tex]
[tex]B(250)\ \approx \ \frac{ \left(\frac{250}{e}\right)^{250}}{\sqrt{2\pi 250} \left( \frac{250}{e}\right)^{250}}[/tex]
[tex]B(250)\ \approx \ \frac{ 1}{\sqrt{500\pi} }[/tex]
[tex]B(250)\ \approx \ \frac{ 1}{25\sqrt{5\pi} } \approx 0.025[/tex]
Og vi ser at denne tilnærmingen er mye lettere å regne ut!
Men den er ikke helt nøyaktig. Men den er nøaytktig avrundet til til [tex]2[/tex] desimaler, og så kan en spørre seg
hvor mange desimalers nøyaktighet en ønsker når en slår en mynt [tex]500[/tex] ganger
