Hei! Virker som om jeg slurver en del på øvingene mine i Algebra, så jeg lurte på om dette beviset er ok. Skal vise at dersom [tex]H \subseteq S_n[/tex] er en undergruppe for [tex]n \geq 2[/tex], så er enten alle elementene i H like (dvs. kan skrives som et produkt av et like antall transposisjoner), eller så er akkurat halvparten like.
Vet at produktet av to like permutasjoner er en like permutasjon. Videre er identitetspermutasjonen like, og inversen til en like permutasjon er også en like permutasjon. Det er derfor en mulighet at H består kun av like permutasjoner.
Anta derfor at det eksisterer [tex]k \leq |H|[/tex] odde permutasjoner [tex]\sigma_1, \sigma_2, \ldots , \sigma_k \in H[/tex]. Siden produktet av to odde permutasjoner er en like permutasjon, må vi ha
[tex]\sigma_1 \sigma_1 = \mu_1[/tex]
[tex]\sigma_1 \sigma_2 = \mu_2[/tex]
[tex]\vdots[/tex]
[tex]\sigma_1 \sigma_k = \mu_k[/tex]
der [tex]\mu_1, \ldots , \mu_k[/tex] er like. Disse må også være distinkte. Hadde vi hatt [tex]\mu_i = \mu_j[/tex] ville dette gitt
[tex]\sigma_1 \sigma_i = \sigma_1 \sigma_j \; \Rightarrow \; \sigma_i = \sigma_j[/tex]
en selvmotsigelse dersom [tex]i \neq j[/tex]. Altså må vi ha minst like mange like permutasjoner som odde permutasjoner.
Anta så at vi har [tex]r < |H|[/tex] like permutasjoner [tex]\mu_1, \ldots , \mu_r \in H[/tex] og at det dermed eksisterer minst én odde permutasjon [tex]\sigma \in H[/tex]. (Vi har allerede sett på tilfellet der [tex]r = |H|[/tex]). Siden produktet av en odde og en like permutasjon er odde, må vi ha
[tex]\sigma \mu_1 = \sigma_1[/tex]
[tex]\sigma \mu_2 = \sigma_2[/tex]
[tex]\vdots[/tex]
[tex]\sigma \mu_r = \sigma_r[/tex]
der [tex]\sigma_1, \ldots , \sigma_r[/tex] er odde. Disse må også være distinkte. Hadde vi hatt [tex]\sigma_i = \sigma_j[/tex] ville dette gitt [tex]\mu_i = \mu_j[/tex], nok en selvmotsigelse dersom [tex]i \neq j[/tex]. Konklusjonen er at vi må ha minst like mange odde permutasjoner som like permutasjoner.
Så når [tex]k \leq r[/tex] og [tex]r \leq k[/tex] må [tex]r = k[/tex] og da er vi vel ferdige?
Takker på forhånd for svar!
Symmetrigrupper og transposisjoner
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Per Spelemann
- Dirichlet
- Posts: 164
- Joined: 08/01-2012 01:48
Så vidt som jeg kan se: Dette virker riktig.
-
Per Spelemann
- Dirichlet
- Posts: 164
- Joined: 08/01-2012 01:48
Hvis du lar [tex]\sigma = \sigma_1^{-1} [/tex], blir vel argumentet noe lettere.
Da får du en bijeksjon
[tex]f: \{\text{odde permutasjoner} \} \to \{ \text{like permutasjoner} \} [/tex]
ved å multiplisere med [tex]\sigma_1 [/tex]
fordi [tex]f^{-1}[/tex] er…
Da får du en bijeksjon
[tex]f: \{\text{odde permutasjoner} \} \to \{ \text{like permutasjoner} \} [/tex]
ved å multiplisere med [tex]\sigma_1 [/tex]
fordi [tex]f^{-1}[/tex] er…