Konvergensområde og Sum av variable kvotienter i rekker

[laustr]

Oppgaven er som følger:
Finn konvergensområde og deretter summen av følgende rekke:

1+ 1/(1-x)+1/(1-x)^2..., der x [symbol:ikke_lik] 1

Her ser vi at a[sub]1[/sub] er 1 og at kvotienten er 1/(1-x)

Neste vi gjør er å finne ut når den konvergerer og divergerer(konvergensområde):
[tex]\frac{1}{(1-x)^2}<1[/tex]

[tex]\frac{1}{(1-x)^2}-1<0[/tex]

[tex](\frac{1}{1-x}+1)(\frac{1}{1-x}-1)<0[/tex]

[tex](\frac{1+1-x}{1-x})(\frac{1-1+x}{1-x})<0[/tex]

[tex](\frac{2-x}{1-x})(\frac{x}{1-x})<0[/tex]

[tex]\frac{2x-x^2}{(1-x)^2}<0[/tex]

[tex]x\frac{2-x}{(1-x)^2}<0[/tex]

lager så fortegnsskjema av dette og får konvergensområde
<-[symbol:uendelig], 0> U <2, [symbol:uendelig]>

Summen:

[tex]\displaystyle\sum_{i=0}^n (\frac{1}{1-x})^i[/tex]

Her bruker jeg bare formelen for summen av geometriske rekker:

[tex]S=1*\frac{1-(\frac{1}{1-x})^n}{1-\frac{1}{1-x}}[/tex]

Siden n går mot uendelig så kan vi forenkle dette til:

[tex]S=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}[/tex]

Fasiten sier her at svaret skal bli [tex]S=1-\frac{1}{x}[/tex] noe jeg ikke ser hvordan kan være mulig.

Hva har jeg gjort feil?

[Vektormannen]

Du har ikke gjort noe feil:

[tex]S = \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{1-x-1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{-x}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{1}{-x} - \frac{-x}{-x} = 1 - \frac{1}{x}[/tex]

[laustr]

Takk for svar
Tenkte følgende jeg:
[tex]\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{\frac{1}{1-x}}=1-\frac{1-x}{1}=\frac{1-(1-x)}{1}=\frac{x}{1}[/tex]

Ser nå hvor latterlig feilen min var XD
Uff...